微分積分学準備例

$2 x^{4} + 3 x^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$ , $x^{2} + y^{2} = 1$

ステップ 1

方程式の両辺から $y^{2}$ を引きます。

$x^{2} = 1 - y^{2}$

ステップ 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1 - y^{2}}$

ステップ 3

$\pm \sqrt{1 - y^{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{1^{2} - y^{2}}$

ステップ 3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = y$ です。

$x = \pm \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

ステップ 4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

ステップ 4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

ステップ 4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

$x = - \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

$x = \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

$x = - \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

ステップ 5

式の変数 $x$ を $\sqrt{(1 + y) (1 - y)}$ で置換えます。

$2 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{4} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

${\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}^{4}$ を ${((1 + y) (1 - y))}^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(1 + y) (1 - y)}$ を ${((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$2 {({((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{4} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.1.3

$\frac{1}{2}$ と $4$ をまとめます。

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{4}{2}} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.1.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.1.4.2.3

式を書き換えます。

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2}{1}} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.1.4.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.2

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + y) (1 - y)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

分配則を当てはめます。

$2 {(1 (1 - y) + y (1 - y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.2.2

分配則を当てはめます。

$2 {(1 \cdot 1 + 1 (- y) + y (1 - y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.2.3

分配則を当てはめます。

$2 {(1 \cdot 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$2 {(1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.3.1.2

$- y$ に $1$ をかけます。

$2 {(1 - y + y \cdot 1 + y (- y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.3.1.3

$y$ に $1$ をかけます。

$2 {(1 - y + y + y (- y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 {(1 - y + y - y \cdot y)}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.3.1.5

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.5.1

$y$ を移動させます。

$2 {(1 - y + y - (y \cdot y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.3.1.5.2

$y$ に $y$ をかけます。

$2 {(1 - y + y - y^{2})}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.3.2

$- y$ と $y$ をたし算します。

$2 {(1 + 0 - y^{2})}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.3.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$2 {(1 - y^{2})}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.4

${(1 - y^{2})}^{2}$ を $(1 - y^{2}) (1 - y^{2})$ に書き換えます。

$2 ((1 - y^{2}) (1 - y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.5

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - y^{2}) (1 - y^{2})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

分配則を当てはめます。

$2 (1 (1 - y^{2}) - y^{2} (1 - y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.5.2

分配則を当てはめます。

$2 (1 \cdot 1 + 1 (- y^{2}) - y^{2} (1 - y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.5.3

分配則を当てはめます。

$2 (1 \cdot 1 + 1 (- y^{2}) - y^{2} \cdot 1 - y^{2} (- y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$2 (1 + 1 (- y^{2}) - y^{2} \cdot 1 - y^{2} (- y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.6.1.2

$- y^{2}$ に $1$ をかけます。

$2 (1 - y^{2} - y^{2} \cdot 1 - y^{2} (- y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.6.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 (1 - y^{2} - y^{2} - y^{2} (- y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.6.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 (1 - y^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} y^{2}) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.6.1.5

指数を足して $y^{2}$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1.5.1

$y^{2}$ を移動させます。

$2 (1 - y^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 1 (y^{2} y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.6.1.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 (1 - y^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2 + 2}) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.6.1.5.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$2 (1 - y^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 1 y^{4}) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.6.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 (1 - y^{2} - y^{2} + 1 y^{4}) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.6.1.7

$y^{4}$ に $1$ をかけます。

$2 (1 - y^{2} - y^{2} + y^{4}) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.6.2

$- y^{2}$ から $y^{2}$ を引きます。

$2 (1 - 2 y^{2} + y^{4}) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.7

分配則を当てはめます。

$2 \cdot 1 + 2 (- 2 y^{2}) + 2 y^{4} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.1

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + 2 (- 2 y^{2}) + 2 y^{4} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.8.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.9

${\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}^{2}$ を $(1 + y) (1 - y)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.9.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(1 + y) (1 - y)}$ を ${((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 {({((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.9.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.9.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2}{2}} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.9.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.9.4.1

共通因数を約分します。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2}{2}} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.9.4.2

式を書き換えます。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 {((1 + y) (1 - y))}^{1} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.9.5

簡約します。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 ((1 + y) (1 - y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.10

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + y) (1 - y)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.10.1

分配則を当てはめます。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 (1 - y) + y (1 - y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.10.2

分配則を当てはめます。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 \cdot 1 + 1 (- y) + y (1 - y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.10.3

分配則を当てはめます。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 \cdot 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.11

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.11.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.11.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.11.1.2

$- y$ に $1$ をかけます。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 - y + y \cdot 1 + y (- y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.11.1.3

$y$ に $1$ をかけます。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 - y + y + y (- y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.11.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 - y + y - y \cdot y) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.11.1.5

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.11.1.5.1

$y$ を移動させます。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 - y + y - (y \cdot y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.11.1.5.2

$y$ に $y$ をかけます。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 - y + y - y^{2}) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.11.2

$- y$ と $y$ をたし算します。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 + 0 - y^{2}) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.11.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 - y^{2}) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.12

分配則を当てはめます。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + (3 \cdot 1 + 3 (- y^{2})) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.13

$3$ に $1$ をかけます。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + (3 + 3 (- y^{2})) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.14

$- 1$ に $3$ をかけます。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + (3 - 3 y^{2}) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.15

分配則を当てはめます。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 y^{2} - 3 y^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.16

指数を足して $y^{2}$ に $y^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.16.1

$y^{2}$ を移動させます。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 y^{2} - 3 (y^{2} y^{2}) + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.16.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 y^{2} - 3 y^{2 + 2} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 6.16.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 y^{2} - 3 y^{4} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 7

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$- 4 y^{2}$ と $3 y^{2}$ をたし算します。

$2 + 2 y^{4} - y^{2} - 3 y^{4} + y^{4} + y^{2}$

ステップ 7.2

$2 + 2 y^{4} - y^{2} - 3 y^{4} + y^{4} + y^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$- y^{2}$ と $y^{2}$ をたし算します。

$2 + 2 y^{4} - 3 y^{4} + y^{4} + 0$

ステップ 7.2.2

$2 + 2 y^{4} - 3 y^{4} + y^{4}$ と $0$ をたし算します。

$2 + 2 y^{4} - 3 y^{4} + y^{4}$

ステップ 7.3

$2 y^{4}$ から $3 y^{4}$ を引きます。

$2 - y^{4} + y^{4}$

ステップ 7.4

$2 - y^{4} + y^{4}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$- y^{4}$ と $y^{4}$ をたし算します。

$2 + 0$

ステップ 7.4.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$2$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例