微分積分学準備例

$4 x^{4} - 5 x^{2} + 1$

ステップ 1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$4 {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} + 1$

ステップ 2

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$4 u^{2} - 5 u + 1$

ステップ 3

群による因数分解。

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ステップ 3.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 4 \cdot 1 = 4$ で和が $b = - 5$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.1.1

$- 5$ を $- 5 u$ で因数分解します。

$4 u^{2} - 5 (u) + 1$

ステップ 3.1.2

$- 5$ を $- 1$ プラス $- 4$ に書き換える

$4 u^{2} + (- 1 - 4) u + 1$

ステップ 3.1.3

分配則を当てはめます。

$4 u^{2} - 1 u - 4 u + 1$

ステップ 3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(4 u^{2} - 1 u) - 4 u + 1$

ステップ 3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$u (4 u - 1) - (4 u - 1)$

ステップ 3.3

最大公約数 $4 u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(4 u - 1) (u - 1)$

ステップ 4

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$(4 x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$

ステップ 5

$4 x^{2}$ を ${(2 x)}^{2}$ に書き換えます。

$({(2 x)}^{2} - 1) (x^{2} - 1)$

ステップ 6

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$({(2 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} - 1)$

ステップ 7

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2 x$ であり、 $b = 1$ です。

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} - 1)$

ステップ 8

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} - 1^{2})$

ステップ 9

因数分解。

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ステップ 9.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$(2 x + 1) (2 x - 1) ((x + 1) (x - 1))$

ステップ 9.2

不要な括弧を削除します。

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x + 1) (x - 1)$

微分積分学準備 例

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