微分積分学準備例

$x^{4} + 64 x^{2}$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 0$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$0$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

${(0)}^{4} + 64 {(0)}^{2}$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = 0$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 64 {(0)}^{2}$

ステップ 4.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 64 \cdot 0$

ステップ 4.1.3

$64$ に $0$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 4.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 5

$0$ は既知の根なので、多項式を $x + 0$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{4} + 64 x^{2}}{x + 0}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$0$	$1$	$0$	$64$	$0$	$0$

ステップ 6.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$0$	$1$	$0$	$64$	$0$	$0$

	$1$

ステップ 6.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(0)$ を掛け、 $(0)$ の結果を被除数 $(0)$ の隣の項の下に置きます。

$0$	$1$	$0$	$64$	$0$	$0$
		$0$
	$1$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$0$	$1$	$0$	$64$	$0$	$0$
		$0$
	$1$	$0$

ステップ 6.5

結果 $(0)$ の最新の項目に除数 $(0)$ を掛け、 $(0)$ の結果を被除数 $(64)$ の隣の項の下に置きます。

$0$	$1$	$0$	$64$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$0$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$0$	$1$	$0$	$64$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$0$	$64$

ステップ 6.7

結果 $(64)$ の最新の項目に除数 $(0)$ を掛け、 $(0)$ の結果を被除数 $(0)$ の隣の項の下に置きます。

$0$	$1$	$0$	$64$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$64$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$0$	$1$	$0$	$64$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$64$	$0$

ステップ 6.9

結果 $(0)$ の最新の項目に除数 $(0)$ を掛け、 $(0)$ の結果を被除数 $(0)$ の隣の項の下に置きます。

$0$	$1$	$0$	$64$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$64$	$0$

ステップ 6.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$0$	$1$	$0$	$64$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$64$	$0$	$0$

ステップ 6.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{3} + 0 x^{2} + (64) x + 0$

ステップ 6.12

商の多項式を簡約します。

$x^{3} + 64 x$

ステップ 7

$x$ を $x^{3} + 64 x$ で因数分解します。

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ステップ 7.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$(x + 0) (x \cdot x^{2} + 64 x)$

ステップ 7.2

$x$ を $64 x$ で因数分解します。

$(x + 0) (x \cdot x^{2} + x \cdot 64)$

ステップ 7.3

$x$ を $x \cdot x^{2} + x \cdot 64$ で因数分解します。

$(x + 0) (x (x^{2} + 64))$

ステップ 8

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 8.1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

${(x^{2})}^{2} + 64 x^{2} = 0$

ステップ 8.2

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$u^{2} + 64 u = 0$

ステップ 8.3

$u$ を $u^{2} + 64 u$ で因数分解します。

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ステップ 8.3.1

$u$ を $u^{2}$ で因数分解します。

$u \cdot u + 64 u = 0$

ステップ 8.3.2

$u$ を $64 u$ で因数分解します。

$u \cdot u + u \cdot 64 = 0$

ステップ 8.3.3

$u$ を $u \cdot u + u \cdot 64$ で因数分解します。

$u (u + 64) = 0$

ステップ 8.4

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$x^{2} (x^{2} + 64) = 0$

ステップ 9

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x^{2} + 64 = 0$

ステップ 10

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 10.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 10.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 10.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 10.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 10.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 10.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 10.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 11

$x^{2} + 64$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 11.1

$x^{2} + 64$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 64 = 0$

ステップ 11.2

$x$ について $x^{2} + 64 = 0$ を解きます。

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ステップ 11.2.1

方程式の両辺から $64$ を引きます。

$x^{2} = - 64$

ステップ 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 64}$

ステップ 11.2.3

$\pm \sqrt{- 64}$ を簡約します。

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ステップ 11.2.3.1

$- 64$ を $- 1 (64)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (64)}$

ステップ 11.2.3.2

$\sqrt{- 1 (64)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{64}$

ステップ 11.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{64}$

ステップ 11.2.3.4

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{8^{2}}$

ステップ 11.2.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot 8$

ステップ 11.2.3.6

$8$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 8 i$

ステップ 11.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 11.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 8 i$

ステップ 11.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 8 i$

ステップ 11.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 8 i, - 8 i$

ステップ 12

最終解は $x^{2} (x^{2} + 64) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 8 i, - 8 i$

ステップ 13

微分積分学準備 例

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