微分積分学準備例

$x^{4} - 2 x^{2} - 16 x - 15$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

${(- 1)}^{4} - 2 {(- 1)}^{2} - 16 \cdot - 1 - 15$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = - 1$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$- 1$ を $4$ 乗します。

$1 - 2 {(- 1)}^{2} - 16 \cdot - 1 - 15$

ステップ 4.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 - 2 \cdot 1 - 16 \cdot - 1 - 15$

ステップ 4.1.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$1 - 2 - 16 \cdot - 1 - 15$

ステップ 4.1.4

$- 16$ に $- 1$ をかけます。

$1 - 2 + 16 - 15$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$1$ から $2$ を引きます。

$- 1 + 16 - 15$

ステップ 4.2.2

$- 1$ と $16$ をたし算します。

$15 - 15$

ステップ 4.2.3

$15$ から $15$ を引きます。

$0$

ステップ 5

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{4} - 2 x^{2} - 16 x - 15}{x + 1}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$- 1$	$1$	$0$	$- 2$	$- 16$	$- 15$

ステップ 6.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$- 1$	$1$	$0$	$- 2$	$- 16$	$- 15$

	$1$

ステップ 6.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(- 1)$ の結果を被除数 $(0)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$1$	$0$	$- 2$	$- 16$	$- 15$
		$- 1$
	$1$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 1$	$1$	$0$	$- 2$	$- 16$	$- 15$
		$- 1$
	$1$	$- 1$

ステップ 6.5

結果 $(- 1)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(1)$ の結果を被除数 $(- 2)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$1$	$0$	$- 2$	$- 16$	$- 15$
		$- 1$	$1$
	$1$	$- 1$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 1$	$1$	$0$	$- 2$	$- 16$	$- 15$
		$- 1$	$1$
	$1$	$- 1$	$- 1$

ステップ 6.7

結果 $(- 1)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(1)$ の結果を被除数 $(- 16)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$1$	$0$	$- 2$	$- 16$	$- 15$
		$- 1$	$1$	$1$
	$1$	$- 1$	$- 1$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 1$	$1$	$0$	$- 2$	$- 16$	$- 15$
		$- 1$	$1$	$1$
	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 15$

ステップ 6.9

結果 $(- 15)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(15)$ の結果を被除数 $(- 15)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$1$	$0$	$- 2$	$- 16$	$- 15$
		$- 1$	$1$	$1$	$15$
	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 15$

ステップ 6.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 1$	$1$	$0$	$- 2$	$- 16$	$- 15$
		$- 1$	$1$	$1$	$15$
	$1$	$- 1$	$- 1$	$- 15$	$0$

ステップ 6.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 1) x - 15$

ステップ 6.12

商の多項式を簡約します。

$x^{3} - x^{2} - x - 15$

ステップ 7

方程式を解き、残りの根を求めます。

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ステップ 7.1

有理根検定を用いて $x^{3} - x^{2} - x - 15$ を因数分解します。

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ステップ 7.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

ステップ 7.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

ステップ 7.1.3

$3$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $3$ は多項式の根です。

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ステップ 7.1.3.1

$3$ を多項式に代入します。

$3^{3} - 3^{2} - 3 - 15$

ステップ 7.1.3.2

$3$ を $3$ 乗します。

$27 - 3^{2} - 3 - 15$

ステップ 7.1.3.3

$3$ を $2$ 乗します。

$27 - 1 \cdot 9 - 3 - 15$

ステップ 7.1.3.4

$- 1$ に $9$ をかけます。

$27 - 9 - 3 - 15$

ステップ 7.1.3.5

$27$ から $9$ を引きます。

$18 - 3 - 15$

ステップ 7.1.3.6

$18$ から $3$ を引きます。

$15 - 15$

ステップ 7.1.3.7

$15$ から $15$ を引きます。

$0$

ステップ 7.1.4

$3$ は既知の根なので、多項式を $x - 3$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - x^{2} - x - 15}{x - 3}$

ステップ 7.1.5

$x^{3} - x^{2} - x - 15$ を $x - 3$ で割ります。

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ステップ 7.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$15$

ステップ 7.1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$15$

ステップ 7.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

ステップ 7.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} - 3 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

ステップ 7.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

ステップ 7.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$

ステップ 7.1.5.7

被除数 $2 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$

ステップ 7.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$6 x$

ステップ 7.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x^{2} - 6 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$

ステップ 7.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$5 x$

ステップ 7.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$5 x$	-	$15$

ステップ 7.1.5.12

被除数 $5 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$5$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$5 x$	-	$15$

ステップ 7.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$5$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$5 x$	-	$15$
							+	$5 x$	-	$15$

ステップ 7.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $5 x - 15$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$5$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$5 x$	-	$15$
							-	$5 x$	+	$15$

ステップ 7.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$2 x$	+	$5$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	-	$x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$
					-	$2 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$5 x$	-	$15$
							-	$5 x$	+	$15$
										$0$

ステップ 7.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} + 2 x + 5$

ステップ 7.1.6

$x^{3} - x^{2} - x - 15$ を因数の集合として書き換えます。

$(x - 3) (x^{2} + 2 x + 5) = 0$

ステップ 7.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 2 x + 5 = 0$

ステップ 7.3

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.3.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 7.3.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 7.4

$x^{2} + 2 x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.4.1

$x^{2} + 2 x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 2 x + 5 = 0$

ステップ 7.4.2

$x$ について $x^{2} + 2 x + 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 7.4.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 7.4.2.2

$a = 1$ 、 $b = 2$ 、および $c = 5$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3

簡約します。

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ステップ 7.4.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.3.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 5$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.2.2

$- 4$ に $5$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.3

$4$ から $20$ を引きます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.4

$- 16$ を $- 1 (16)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (16)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.7

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 4 i}{2}$

ステップ 7.4.2.3.3

$\frac{- 2 \pm 4 i}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm 2 i$

ステップ 7.4.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 7.4.2.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.4.2.4.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 5$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.4.1.2.2

$- 4$ に $5$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.4.1.3

$4$ から $20$ を引きます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.4.1.4

$- 16$ を $- 1 (16)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (16)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.4.1.7

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.4.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.4.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 4 i}{2}$

ステップ 7.4.2.4.3

$\frac{- 2 \pm 4 i}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm 2 i$

ステップ 7.4.2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = - 1 + 2 i$

ステップ 7.4.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 7.4.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.5.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 5$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.5.1.2.2

$- 4$ に $5$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.5.1.3

$4$ から $20$ を引きます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.5.1.4

$- 16$ を $- 1 (16)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (16)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.5.1.7

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.5.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.5.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 2 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 4 i}{2}$

ステップ 7.4.2.5.3

$\frac{- 2 \pm 4 i}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm 2 i$

ステップ 7.4.2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = - 1 - 2 i$

ステップ 7.4.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - 1 + 2 i, - 1 - 2 i$

ステップ 7.5

最終解は $(x - 3) (x^{2} + 2 x + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - 1 + 2 i, - 1 - 2 i$

ステップ 8

多項式は線形因数の集合として書くことができません。

$(x + 1) (x - 3) (x + 1 - 2 i) (x + 1 + 2 i)$

ステップ 9

多項式 $x^{4} - 2 x^{2} - 16 x - 15$ の根（0）です。

$x = - 1, 3, - 1 + 2 i, - 1 - 2 i$

ステップ 10

微分積分学準備 例

微分積分学準備例