微分積分学準備例

$2 x^{4} - x^{3} + 49 x^{2} - 25 x - 25$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 2$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm 25, \pm \frac{25}{2}$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

$2 {(1)}^{4} - {(1)}^{3} + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = 1$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$2 \cdot 1 - {(1)}^{3} + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

ステップ 4.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$2 - {(1)}^{3} + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

ステップ 4.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$2 - 1 \cdot 1 + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

ステップ 4.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 - 1 + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

ステップ 4.1.5

1のすべての数の累乗は1です。

$2 - 1 + 49 \cdot 1 - 25 \cdot 1 - 25$

ステップ 4.1.6

$49$ に $1$ をかけます。

$2 - 1 + 49 - 25 \cdot 1 - 25$

ステップ 4.1.7

$- 25$ に $1$ をかけます。

$2 - 1 + 49 - 25 - 25$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$2$ から $1$ を引きます。

$1 + 49 - 25 - 25$

ステップ 4.2.2

$1$ と $49$ をたし算します。

$50 - 25 - 25$

ステップ 4.2.3

$50$ から $25$ を引きます。

$25 - 25$

ステップ 4.2.4

$25$ から $25$ を引きます。

$0$

ステップ 5

$1$ は既知の根なので、多項式を $x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{2 x^{4} - x^{3} + 49 x^{2} - 25 x - 25}{x - 1}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$

ステップ 6.2

被除数 $(2)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$

	$2$

ステップ 6.3

結果 $(2)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(2)$ の結果を被除数 $(- 1)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$
	$2$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$
	$2$	$1$

ステップ 6.5

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(1)$ の結果を被除数 $(49)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$
	$2$	$1$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$
	$2$	$1$	$50$

ステップ 6.7

結果 $(50)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(50)$ の結果を被除数 $(- 25)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$	$50$
	$2$	$1$	$50$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$	$50$
	$2$	$1$	$50$	$25$

ステップ 6.9

結果 $(25)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(25)$ の結果を被除数 $(- 25)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$	$50$	$25$
	$2$	$1$	$50$	$25$

ステップ 6.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$	$50$	$25$
	$2$	$1$	$50$	$25$	$0$

ステップ 6.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$2 x^{3} + 1 x^{2} + (50) x + 25$

ステップ 6.12

商の多項式を簡約します。

$2 x^{3} + x^{2} + 50 x + 25$

ステップ 7

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 7.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x - 1) (2 x^{3} + x^{2}) + 50 x + 25$

ステップ 7.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x - 1) + x^{2} (2 x + 1) + 25 (2 x + 1)$

$(x - 1) x^{2} (2 x + 1) + 25 (2 x + 1)$

ステップ 8

最大公約数 $2 x + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x - 1) (2 x + 1) (x^{2} + 25)$

ステップ 9

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 9.1

項を再分類します。

$- x^{3} - 25 x + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

ステップ 9.2

$- x$ を $- x^{3} - 25 x$ で因数分解します。

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ステップ 9.2.1

$- x$ を $- x^{3}$ で因数分解します。

$- x \cdot x^{2} - 25 x + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

ステップ 9.2.2

$- x$ を $- 25 x$ で因数分解します。

$- x \cdot x^{2} - x \cdot 25 + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

ステップ 9.2.3

$- x$ を $- x (x^{2}) - x (25)$ で因数分解します。

$- x (x^{2} + 25) + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

ステップ 9.3

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- x (x^{2} + 25) + 2 {(x^{2})}^{2} + 49 x^{2} - 25 = 0$

ステップ 9.4

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + 49 u - 25 = 0$

ステップ 9.5

群による因数分解。

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ステップ 9.5.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 25 = - 50$ で和が $b = 49$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 9.5.1.1

$49$ を $49 u$ で因数分解します。

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + 49 (u) - 25 = 0$

ステップ 9.5.1.2

$49$ を $- 1$ プラス $50$ に書き換える

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + (- 1 + 50) u - 25 = 0$

ステップ 9.5.1.3

分配則を当てはめます。

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} - 1 u + 50 u - 25 = 0$

ステップ 9.5.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 9.5.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} - 1 u + 50 u - 25 = 0$

ステップ 9.5.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$- x (x^{2} + 25) + u (2 u - 1) + 25 (2 u - 1) = 0$

ステップ 9.5.3

最大公約数 $2 u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$- x (x^{2} + 25) + (2 u - 1) (u + 25) = 0$

ステップ 9.6

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- x (x^{2} + 25) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25) = 0$

ステップ 9.7

$x^{2} + 25$ を $- x (x^{2} + 25) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ で因数分解します。

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ステップ 9.7.1

$x^{2} + 25$ を $- x (x^{2} + 25)$ で因数分解します。

$(x^{2} + 25) (- x) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25) = 0$

ステップ 9.7.2

$x^{2} + 25$ を $(2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ で因数分解します。

$(x^{2} + 25) (- x) + (x^{2} + 25) (2 x^{2} - 1) = 0$

ステップ 9.7.3

$x^{2} + 25$ を $(x^{2} + 25) (- x) + (x^{2} + 25) (2 x^{2} - 1)$ で因数分解します。

$(x^{2} + 25) (- x + 2 x^{2} - 1) = 0$

ステップ 9.8

$u = x$ とします。 $u$ を $x$ に代入します。

$(x^{2} + 25) (- u + 2 u^{2} - 1) = 0$

ステップ 9.9

群による因数分解。

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ステップ 9.9.1

項を並べ替えます。

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} - u - 1) = 0$

ステップ 9.9.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ で和が $b = - 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 9.9.2.1

$- 1$ を $- u$ で因数分解します。

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} - (u) - 1) = 0$

ステップ 9.9.2.2

$- 1$ を $1$ プラス $- 2$ に書き換える

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

ステップ 9.9.2.3

分配則を当てはめます。

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

ステップ 9.9.2.4

$u$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

ステップ 9.9.3

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 9.9.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x^{2} + 25) ((2 u^{2} + u) - 2 u - 1) = 0$

ステップ 9.9.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x^{2} + 25) (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

ステップ 9.9.4

最大公約数 $2 u + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x^{2} + 25) ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

ステップ 9.10

因数分解。

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ステップ 9.10.1

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$(x^{2} + 25) ((2 x + 1) (x - 1)) = 0$

ステップ 9.10.2

不要な括弧を削除します。

$(x^{2} + 25) (2 x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 10

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} + 25 = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 11

$x^{2} + 25$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 11.1

$x^{2} + 25$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 25 = 0$

ステップ 11.2

$x$ について $x^{2} + 25 = 0$ を解きます。

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ステップ 11.2.1

方程式の両辺から $25$ を引きます。

$x^{2} = - 25$

ステップ 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 25}$

ステップ 11.2.3

$\pm \sqrt{- 25}$ を簡約します。

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ステップ 11.2.3.1

$- 25$ を $- 1 (25)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (25)}$

ステップ 11.2.3.2

$\sqrt{- 1 (25)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$

ステップ 11.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{25}$

ステップ 11.2.3.4

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{5^{2}}$

ステップ 11.2.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot 5$

ステップ 11.2.3.6

$5$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 5 i$

ステップ 11.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 11.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 5 i$

ステップ 11.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 5 i$

ステップ 11.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 5 i, - 5 i$

ステップ 12

$2 x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 12.1

$2 x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x + 1 = 0$

ステップ 12.2

$x$ について $2 x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 12.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 x = - 1$

ステップ 12.2.2

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 12.2.2.1

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 12.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 12.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 12.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{2}$

ステップ 12.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 12.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{2}$

ステップ 13

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 13.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 13.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 14

最終解は $(x^{2} + 25) (2 x + 1) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 5 i, - 5 i, - \frac{1}{2}, 1$

ステップ 15

微分積分学準備 例

微分積分学準備例