微分積分学準備例

$x^{4} + x^{3} + 14 x^{2} + 16 x - 32$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

${(1)}^{4} + {(1)}^{3} + 14 {(1)}^{2} + 16 (1) - 32$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = 1$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + {(1)}^{3} + 14 {(1)}^{2} + 16 (1) - 32$

ステップ 4.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 1 + 14 {(1)}^{2} + 16 (1) - 32$

ステップ 4.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 1 + 14 \cdot 1 + 16 (1) - 32$

ステップ 4.1.4

$14$ に $1$ をかけます。

$1 + 1 + 14 + 16 (1) - 32$

ステップ 4.1.5

$16$ に $1$ をかけます。

$1 + 1 + 14 + 16 - 32$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 + 14 + 16 - 32$

ステップ 4.2.2

$2$ と $14$ をたし算します。

$16 + 16 - 32$

ステップ 4.2.3

$16$ と $16$ をたし算します。

$32 - 32$

ステップ 4.2.4

$32$ から $32$ を引きます。

$0$

ステップ 5

$1$ は既知の根なので、多項式を $x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{4} + x^{3} + 14 x^{2} + 16 x - 32}{x - 1}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$

ステップ 6.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$

	$1$

ステップ 6.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(1)$ の結果を被除数 $(1)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$
	$1$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$
	$1$	$2$

ステップ 6.5

結果 $(2)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(2)$ の結果を被除数 $(14)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$	$2$
	$1$	$2$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$	$2$
	$1$	$2$	$16$

ステップ 6.7

結果 $(16)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(16)$ の結果を被除数 $(16)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$	$2$	$16$
	$1$	$2$	$16$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$	$2$	$16$
	$1$	$2$	$16$	$32$

ステップ 6.9

結果 $(32)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(32)$ の結果を被除数 $(- 32)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$	$2$	$16$	$32$
	$1$	$2$	$16$	$32$

ステップ 6.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$1$	$14$	$16$	$- 32$
		$1$	$2$	$16$	$32$
	$1$	$2$	$16$	$32$	$0$

ステップ 6.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{3} + 2 x^{2} + (16) x + 32$

ステップ 6.12

商の多項式を簡約します。

$x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 32$

ステップ 7

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 7.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x - 1) (x^{3} + 2 x^{2}) + 16 x + 32$

ステップ 7.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x - 1) + x^{2} (x + 2) + 16 (x + 2)$

$(x - 1) x^{2} (x + 2) + 16 (x + 2)$

ステップ 8

最大公約数 $x + 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x - 1) (x + 2) (x^{2} + 16)$

ステップ 9

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 9.1

項を再分類します。

$x^{3} + 16 x + x^{4} + 14 x^{2} - 32 = 0$

ステップ 9.2

$x$ を $x^{3} + 16 x$ で因数分解します。

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ステップ 9.2.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} + 16 x + x^{4} + 14 x^{2} - 32 = 0$

ステップ 9.2.2

$x$ を $16 x$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} + x \cdot 16 + x^{4} + 14 x^{2} - 32 = 0$

ステップ 9.2.3

$x$ を $x \cdot x^{2} + x \cdot 16$ で因数分解します。

$x (x^{2} + 16) + x^{4} + 14 x^{2} - 32 = 0$

ステップ 9.3

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$x (x^{2} + 16) + {(x^{2})}^{2} + 14 x^{2} - 32 = 0$

ステップ 9.4

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$x (x^{2} + 16) + u^{2} + 14 u - 32 = 0$

ステップ 9.5

たすき掛けを利用して $u^{2} + 14 u - 32$ を因数分解します。

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ステップ 9.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 32$ で、その和が $14$ です。

$- 2, 16$

ステップ 9.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$x (x^{2} + 16) + (u - 2) (u + 16) = 0$

ステップ 9.6

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$x (x^{2} + 16) + (x^{2} - 2) (x^{2} + 16) = 0$

ステップ 9.7

$x^{2} + 16$ を $x (x^{2} + 16) + (x^{2} - 2) (x^{2} + 16)$ で因数分解します。

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ステップ 9.7.1

$x^{2} + 16$ を $x (x^{2} + 16)$ で因数分解します。

$(x^{2} + 16) x + (x^{2} - 2) (x^{2} + 16) = 0$

ステップ 9.7.2

$x^{2} + 16$ を $(x^{2} - 2) (x^{2} + 16)$ で因数分解します。

$(x^{2} + 16) x + (x^{2} + 16) (x^{2} - 2) = 0$

ステップ 9.7.3

$x^{2} + 16$ を $(x^{2} + 16) x + (x^{2} + 16) (x^{2} - 2)$ で因数分解します。

$(x^{2} + 16) (x + x^{2} - 2) = 0$

ステップ 9.8

$u = x$ とします。 $u$ を $x$ に代入します。

$(x^{2} + 16) (u + u^{2} - 2) = 0$

ステップ 9.9

たすき掛けを利用して $u + u^{2} - 2$ を因数分解します。

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ステップ 9.9.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 2$ で、その和が $1$ です。

$- 1, 2$

ステップ 9.9.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x^{2} + 16) ((u - 1) (u + 2)) = 0$

ステップ 9.10

因数分解。

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ステップ 9.10.1

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$(x^{2} + 16) ((x - 1) (x + 2)) = 0$

ステップ 9.10.2

不要な括弧を削除します。

$(x^{2} + 16) (x - 1) (x + 2) = 0$

ステップ 10

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} + 16 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 11

$x^{2} + 16$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 11.1

$x^{2} + 16$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 16 = 0$

ステップ 11.2

$x$ について $x^{2} + 16 = 0$ を解きます。

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ステップ 11.2.1

方程式の両辺から $16$ を引きます。

$x^{2} = - 16$

ステップ 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 16}$

ステップ 11.2.3

$\pm \sqrt{- 16}$ を簡約します。

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ステップ 11.2.3.1

$- 16$ を $- 1 (16)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (16)}$

ステップ 11.2.3.2

$\sqrt{- 1 (16)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$

ステップ 11.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{16}$

ステップ 11.2.3.4

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}$

ステップ 11.2.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot 4$

ステップ 11.2.3.6

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 4 i$

ステップ 11.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 11.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 4 i$

ステップ 11.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 4 i$

ステップ 11.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 4 i, - 4 i$

ステップ 12

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 12.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 12.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 13

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 13.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 13.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 14

最終解は $(x^{2} + 16) (x - 1) (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4 i, - 4 i, 1, - 2$

ステップ 15

微分積分学準備 例

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