微分積分学準備例

$x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 7$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

${(- 7)}^{5} + 7 {(- 7)}^{4} + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = - 7$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

括弧を削除します。

${(- 7)}^{5} + 7 {(- 7)}^{4} + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 7$ を $5$ 乗します。

$- 16807 + 7 {(- 7)}^{4} + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

ステップ 4.2.2

$- 7$ を $4$ 乗します。

$- 16807 + 7 \cdot 2401 + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

ステップ 4.2.3

$7$ に $2401$ をかけます。

$- 16807 + 16807 + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

ステップ 4.2.4

$- 7$ を $3$ 乗します。

$- 16807 + 16807 + 2 \cdot - 343 + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

ステップ 4.2.5

$2$ に $- 343$ をかけます。

$- 16807 + 16807 - 686 + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

ステップ 4.2.6

$- 7$ を $2$ 乗します。

$- 16807 + 16807 - 686 + 14 \cdot 49 - 7 + 7$

ステップ 4.2.7

$14$ に $49$ をかけます。

$- 16807 + 16807 - 686 + 686 - 7 + 7$

ステップ 4.3

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.3.1

$- 16807$ と $16807$ をたし算します。

$0 - 686 + 686 - 7 + 7$

ステップ 4.3.2

$0$ から $686$ を引きます。

$- 686 + 686 - 7 + 7$

ステップ 4.3.3

$- 686$ と $686$ をたし算します。

$0 - 7 + 7$

ステップ 4.3.4

$0$ から $7$ を引きます。

$- 7 + 7$

ステップ 4.3.5

$- 7$ と $7$ をたし算します。

$0$

ステップ 5

$- 7$ は既知の根なので、多項式を $x + 7$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7}{x + 7}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$

ステップ 6.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$

	$1$

ステップ 6.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(- 7)$ を掛け、 $(- 7)$ の結果を被除数 $(7)$ の隣の項の下に置きます。

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$
	$1$

ステップ 6.4