微分積分学準備例

$x^{3} + 4 x^{2} - 9 x - 36$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

${(3)}^{3} + 4 {(3)}^{2} - 9 \cdot 3 - 36$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = 3$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$3$ を $3$ 乗します。

$27 + 4 {(3)}^{2} - 9 \cdot 3 - 36$

ステップ 4.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$27 + 4 \cdot 9 - 9 \cdot 3 - 36$

ステップ 4.1.3

$4$ に $9$ をかけます。

$27 + 36 - 9 \cdot 3 - 36$

ステップ 4.1.4

$- 9$ に $3$ をかけます。

$27 + 36 - 27 - 36$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$27$ と $36$ をたし算します。

$63 - 27 - 36$

ステップ 4.2.2

$63$ から $27$ を引きます。

$36 - 36$

ステップ 4.2.3

$36$ から $36$ を引きます。

$0$

ステップ 5

$3$ は既知の根なので、多項式を $x - 3$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} - 9 x - 36}{x - 3}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$3$	$1$	$4$	$- 9$	$- 36$

ステップ 6.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$3$	$1$	$4$	$- 9$	$- 36$

	$1$

ステップ 6.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(3)$ を掛け、 $(3)$ の結果を被除数 $(4)$ の隣の項の下に置きます。

$3$	$1$	$4$	$- 9$	$- 36$
		$3$
	$1$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$3$	$1$	$4$	$- 9$	$- 36$
		$3$
	$1$	$7$

ステップ 6.5

結果 $(7)$ の最新の項目に除数 $(3)$ を掛け、 $(21)$ の結果を被除数 $(- 9)$ の隣の項の下に置きます。

$3$	$1$	$4$	$- 9$	$- 36$
		$3$	$21$
	$1$	$7$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$3$	$1$	$4$	$- 9$	$- 36$
		$3$	$21$
	$1$	$7$	$12$

ステップ 6.7

結果 $(12)$ の最新の項目に除数 $(3)$ を掛け、 $(36)$ の結果を被除数 $(- 36)$ の隣の項の下に置きます。

$3$	$1$	$4$	$- 9$	$- 36$
		$3$	$21$	$36$
	$1$	$7$	$12$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$3$	$1$	$4$	$- 9$	$- 36$
		$3$	$21$	$36$
	$1$	$7$	$12$	$0$

ステップ 6.9

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{2} + 7 x + 12$

ステップ 6.10

商の多項式を簡約します。

$x^{2} + 7 x + 12$

ステップ 7

たすき掛けを利用して $x^{2} + 7 x + 12$ を因数分解します。

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ステップ 7.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $12$ で、その和が $7$ です。

$3, 4$

ステップ 7.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 3) + (x + 3) (x + 4)$

$(x - 3) (x + 3) (x + 4)$

ステップ 8

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 8.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 8.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x^{3} + 4 x^{2}) - 9 x - 36 = 0$

ステップ 8.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x^{2} (x + 4) - 9 (x + 4) = 0$

ステップ 8.2

最大公約数 $x + 4$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x + 4) (x^{2} - 9) = 0$

ステップ 8.3

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$(x + 4) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

ステップ 8.4

因数分解。

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ステップ 8.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$(x + 4) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

ステップ 8.4.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 4) (x + 3) (x - 3) = 0$

ステップ 9

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 4 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 10

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 10.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 10.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 11

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 11.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 11.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 12

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 12.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 12.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 13

最終解は $(x + 4) (x + 3) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 4, - 3, 3$

ステップ 14

微分積分学準備 例

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