微分積分学準備例

$\frac{2 x - 2}{x + 5} > 0$

ステップ 1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$2 x - 2 = 0$

$x + 5 = 0$

ステップ 2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$2 x = 2$

ステップ 3

$2 x = 2$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1

$2 x = 2$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

ステップ 3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{2}{2}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$2$ を $2$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 4

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 5

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 1$

$x = - 5$

ステップ 6

解をまとめます。

$x = 1, - 5$

ステップ 7

$\frac{2 x - 2}{x + 5}$ の定義域を求めます。

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ステップ 7.1

$\frac{2 x - 2}{x + 5}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x + 5 = 0$

ステップ 7.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 7.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

ステップ 8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 5$

$- 5 < x < 1$

$x > 1$

ステップ 9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 9.1

区間 $x < - 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.1.1

区間 $x < - 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 8$

ステップ 9.1.2

$x$ を元の不等式の $- 8$ で置き換えます。

$\frac{2 (- 8) - 2}{(- 8) + 5} > 0$

ステップ 9.1.3

左辺 $6$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 9.2

区間 $- 5 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.2.1

区間 $- 5 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 9.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{2 (0) - 2}{(0) + 5} > 0$

ステップ 9.2.3

左辺 $- 0.4$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 9.3

区間 $x > 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.3.1

区間 $x > 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 9.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{2 (4) - 2}{(4) + 5} > 0$

ステップ 9.3.3

左辺 $0.\overline{6}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 9.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 5$ 真

$- 5 < x < 1$ 偽

$x > 1$ 真

$x < - 5$ 真

$- 5 < x < 1$ 偽

$x > 1$ 真

ステップ 10

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 5$ または $x > 1$

ステップ 11

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - 5) \cup (1, \infty)$

ステップ 12

微分積分学準備 例

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