微分積分学準備例

$\frac{x}{x + 1} > 6 x$

ステップ 1

不等式の両辺から $6 x$ を引きます。

$\frac{x}{x + 1} - 6 x > 0$

ステップ 2

$\frac{x}{x + 1} - 6 x$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$- 6 x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 1}{x + 1}$ を掛けます。

$\frac{x}{x + 1} - 6 x \cdot \frac{x + 1}{x + 1} > 0$

ステップ 2.2

$- 6 x$ と $\frac{x + 1}{x + 1}$ をまとめます。

$\frac{x}{x + 1} + \frac{- 6 x (x + 1)}{x + 1} > 0$

ステップ 2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x - 6 x (x + 1)}{x + 1} > 0$

ステップ 2.4

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$x$ を $x - 6 x (x + 1)$ で因数分解します。

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ステップ 2.4.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{1} - 6 x (x + 1)}{x + 1} > 0$

ステップ 2.4.1.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot 1 - 6 x (x + 1)}{x + 1} > 0$

ステップ 2.4.1.3

$x$ を $- 6 x (x + 1)$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot 1 + x (- 6 (x + 1))}{x + 1} > 0$

ステップ 2.4.1.4

$x$ を $x \cdot 1 + x (- 6 (x + 1))$ で因数分解します。

$\frac{x (1 - 6 (x + 1))}{x + 1} > 0$

ステップ 2.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x (1 - 6 x - 6 \cdot 1)}{x + 1} > 0$

ステップ 2.4.3

$- 6$ に $1$ をかけます。

$\frac{x (1 - 6 x - 6)}{x + 1} > 0$

ステップ 2.4.4

$1$ から $6$ を引きます。

$\frac{x (- 6 x - 5)}{x + 1} > 0$

ステップ 2.5

$- 1$ を $- 6 x$ で因数分解します。

$\frac{x (- (6 x) - 5)}{x + 1} > 0$

ステップ 2.6

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$\frac{x (- (6 x) - 1 (5))}{x + 1} > 0$

ステップ 2.7

$- 1$ を $- (6 x) - 1 (5)$ で因数分解します。

$\frac{x (- (6 x + 5))}{x + 1} > 0$

ステップ 2.8

$- (6 x + 5)$ を $- 1 (6 x + 5)$ に書き換えます。

$\frac{x (- 1 (6 x + 5))}{x + 1} > 0$

ステップ 2.9

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x (6 x + 5)}{x + 1} > 0$

ステップ 3

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$- x = 0$

$6 x + 5 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 4

$- x = 0$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1

$- x = 0$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 4.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{- 1}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$0$ を $- 1$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 5

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$6 x = - 5$

ステップ 6

$6 x = - 5$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1

$6 x = - 5$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 5}{6}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 5}{6}$

ステップ 6.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 5}{6}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{5}{6}$

ステップ 7

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 8

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 0$

$x = - \frac{5}{6}$

$x = - 1$

ステップ 9

解をまとめます。

$x = 0, - \frac{5}{6}, - 1$

ステップ 10

$- \frac{x (6 x + 5)}{x + 1}$ の定義域を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{x (6 x + 5)}{x + 1}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x + 1 = 0$

ステップ 10.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 10.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

ステップ 11

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 1$

$- 1 < x < - \frac{5}{6}$

$- \frac{5}{6} < x < 0$

$x > 0$

ステップ 12

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 12.1

区間 $x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.1.1

区間 $x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 12.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$\frac{- 4}{(- 4) + 1} > 6 (- 4)$

ステップ 12.1.3

左辺 $1.\overline{3}$ は右辺 $- 24$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 12.2

区間 $- 1 < x < - \frac{5}{6}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.2.1

区間 $- 1 < x < - \frac{5}{6}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 0.92$

ステップ 12.2.2

$x$ を元の不等式の $- 0.92$ で置き換えます。

$\frac{- 0.92}{(- 0.92) + 1} > 6 (- 0.92)$

ステップ 12.2.3

左辺 $- 11.5$ は右辺 $- 5.52$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 12.3

区間 $- \frac{5}{6} < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.3.1

区間 $- \frac{5}{6} < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 0.42$

ステップ 12.3.2

$x$ を元の不等式の $- 0.42$ で置き換えます。

$\frac{- 0.42}{(- 0.42) + 1} > 6 (- 0.42)$

ステップ 12.3.3

左辺 $- 0.72413793$ は右辺 $- 2.52$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 12.4

区間 $x > 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.4.1

区間 $x > 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 12.4.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$\frac{2}{(2) + 1} > 6 (2)$

ステップ 12.4.3

左辺 $0.\overline{6}$ は右辺 $12$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 12.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 1$ 真

$- 1 < x < - \frac{5}{6}$ 偽

$- \frac{5}{6} < x < 0$ 真

$x > 0$ 偽

$x < - 1$ 真

$- 1 < x < - \frac{5}{6}$ 偽

$- \frac{5}{6} < x < 0$ 真

$x > 0$ 偽

ステップ 13

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 1$ または $- \frac{5}{6} < x < 0$

ステップ 14

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - 1) \cup (- \frac{5}{6}, 0)$

ステップ 15

微分積分学準備 例

微分積分学準備例