微分積分学準備例

$x^{2} + x > 0$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} + x = 0$

ステップ 2

$x$ を $x^{2} + x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot x + x = 0$

ステップ 2.2

$x$ を $1$ 乗します。

$x \cdot x + x = 0$

ステップ 2.3

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$x \cdot x + x \cdot 1 = 0$

ステップ 2.4

$x$ を $x \cdot x + x \cdot 1$ で因数分解します。

$x (x + 1) = 0$

$x (x + 1) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

$x = - 1$

ステップ 6

最終解は $x (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 1$

ステップ 7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

ステップ 8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 8.1

区間 $x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.1.1

区間 $x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

${(- 4)}^{2} - 4 > 0$

ステップ 8.1.3

左辺 $12$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

True

ステップ 8.2

区間 $- 1 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.2.1

区間 $- 1 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 0.5$

ステップ 8.2.2

$x$ を元の不等式の $- 0.5$ で置き換えます。

${(- 0.5)}^{2} - 0.5 > 0$

ステップ 8.2.3

左辺 $- 0.25$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

False

ステップ 8.3

区間 $x > 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.3.1

区間 $x > 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 8.3.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

${(2)}^{2} + 2 > 0$

ステップ 8.3.3

左辺 $6$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

True

ステップ 8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 1$ 真

$- 1 < x < 0$ 偽

$x > 0$ 真

$x < - 1$ 真

$- 1 < x < 0$ 偽

$x > 0$ 真

ステップ 9

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 1$ または $x > 0$

ステップ 10

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - 1) \cup (0, \infty)$

ステップ 11

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$