微分積分学準備例

$x^{2} - 12 x > 0$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} - 12 x = 0$

ステップ 2

$x$ を $x^{2} - 12 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot x - 12 x = 0$

ステップ 2.2

$x$ を $- 12 x$ で因数分解します。

$x \cdot x + x \cdot - 12 = 0$

ステップ 2.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot - 12$ で因数分解します。

$x (x - 12) = 0$

$x (x - 12) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 12 = 0$

ステップ 4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5

$x - 12$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x - 12$ が $0$ に等しいとします。

$x - 12 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $12$ を足します。

$x = 12$

$x = 12$

ステップ 6

最終解は $x (x - 12) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 12$

ステップ 7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < 12$

$x > 12$

ステップ 8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 8.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

${(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 > 0$

ステップ 8.1.3

左辺 $28$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

True

ステップ 8.2

区間 $0 < x < 12$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.2.1

区間 $0 < x < 12$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 8.2.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

${(2)}^{2} - 12 \cdot 2 > 0$

ステップ 8.2.3

左辺 $- 20$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

False

ステップ 8.3

区間 $x > 12$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.3.1

区間 $x > 12$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 14$

ステップ 8.3.2

$x$ を元の不等式の $14$ で置き換えます。

${(14)}^{2} - 12 \cdot 14 > 0$

ステップ 8.3.3

左辺 $28$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

True

ステップ 8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 真

$0 < x < 12$ 偽

$x > 12$ 真

$x < 0$ 真

$0 < x < 12$ 偽

$x > 12$ 真

ステップ 9

解はすべての真の区間からなります。

$x < 0$ または $x > 12$

ステップ 10

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, 0) \cup (12, \infty)$

ステップ 11

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$