微分積分学準備例

$x^{3} + 8 x > 6 x^{2}$

ステップ 1

不等式の両辺から $6 x^{2}$ を引きます。

$x^{3} + 8 x - 6 x^{2} > 0$

ステップ 2

不等式を方程式に変換します。

$x^{3} + 8 x - 6 x^{2} = 0$

ステップ 3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.1

$x$ を $x^{3} + 8 x - 6 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} + 8 x - 6 x^{2} = 0$

ステップ 3.1.2

$x$ を $8 x$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} + x \cdot 8 - 6 x^{2} = 0$

ステップ 3.1.3

$x$ を $- 6 x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{2} + x \cdot 8 + x (- 6 x) = 0$

ステップ 3.1.4

$x$ を $x \cdot x^{2} + x \cdot 8$ で因数分解します。

$x (x^{2} + 8) + x (- 6 x) = 0$

ステップ 3.1.5

$x$ を $x (x^{2} + 8) + x (- 6 x)$ で因数分解します。

$x (x^{2} + 8 - 6 x) = 0$

ステップ 3.2

因数分解。

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ステップ 3.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 8 - 6 x$ を因数分解します。

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ステップ 3.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $8$ で、その和が $- 6$ です。

$- 4, - 2$

ステップ 3.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$x ((x - 4) (x - 2)) = 0$

ステップ 3.2.2

不要な括弧を削除します。

$x (x - 4) (x - 2) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 5

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 6

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 7

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 7.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 8

最終解は $x (x - 4) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 4, 2$

ステップ 9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < 2$

$2 < x < 4$

$x > 4$

ステップ 10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 10.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 10.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

${(- 2)}^{3} + 8 (- 2) > 6 {(- 2)}^{2}$

ステップ 10.1.3

左辺 $- 24$ は右辺 $24$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 10.2

区間 $0 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.2.1

区間 $0 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1$

ステップ 10.2.2

$x$ を元の不等式の $1$ で置き換えます。

${(1)}^{3} + 8 (1) > 6 {(1)}^{2}$

ステップ 10.2.3

左辺 $9$ は右辺 $6$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 10.3

区間 $2 < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.3.1

区間 $2 < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 10.3.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

${(3)}^{3} + 8 (3) > 6 {(3)}^{2}$

ステップ 10.3.3

左辺 $51$ は右辺 $54$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 10.4

区間 $x > 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.4.1

区間 $x > 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 10.4.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

${(6)}^{3} + 8 (6) > 6 {(6)}^{2}$

ステップ 10.4.3

左辺 $264$ は右辺 $216$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 10.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 偽

$0 < x < 2$ 真

$2 < x < 4$ 偽

$x > 4$ 真

$x < 0$ 偽

$0 < x < 2$ 真

$2 < x < 4$ 偽

$x > 4$ 真

ステップ 11

解はすべての真の区間からなります。

$0 < x < 2$ または $x > 4$

ステップ 12

不等式を区間記号に変換します。

$(0, 2) \cup (4, \infty)$

ステップ 13

微分積分学準備 例

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