微分積分学準備例

$x^{4} > 225 x^{2}$

ステップ 1

不等式の両辺から $225 x^{2}$ を引きます。

$x^{4} - 225 x^{2} > 0$

ステップ 2

不等式を方程式に変換します。

$x^{4} - 225 x^{2} = 0$

ステップ 3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.1

$x^{2}$ を $x^{4} - 225 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.1

$x^{2}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$x^{2} x^{2} - 225 x^{2} = 0$

ステップ 3.1.2

$x^{2}$ を $- 225 x^{2}$ で因数分解します。

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 225 = 0$

ステップ 3.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 225$ で因数分解します。

$x^{2} (x^{2} - 225) = 0$

ステップ 3.2

$225$ を $15^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} (x^{2} - 15^{2}) = 0$

ステップ 3.3

因数分解。

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ステップ 3.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 15$ です。

$x^{2} ((x + 15) (x - 15)) = 0$

ステップ 3.3.2

不要な括弧を削除します。

$x^{2} (x + 15) (x - 15) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x + 15 = 0$

$x - 15 = 0$

ステップ 5

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 5.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 5.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 5.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 6

$x + 15$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x + 15$ が $0$ に等しいとします。

$x + 15 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺から $15$ を引きます。

$x = - 15$

ステップ 7

$x - 15$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

$x - 15$ が $0$ に等しいとします。

$x - 15 = 0$

ステップ 7.2

方程式の両辺に $15$ を足します。

$x = 15$

ステップ 8

最終解は $x^{2} (x + 15) (x - 15) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 15, 15$

ステップ 9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 15$

$- 15 < x < 0$

$0 < x < 15$

$x > 15$

ステップ 10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 10.1

区間 $x < - 15$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.1.1

区間 $x < - 15$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 18$

ステップ 10.1.2

$x$ を元の不等式の $- 18$ で置き換えます。

${(- 18)}^{4} > 225 {(- 18)}^{2}$

ステップ 10.1.3

左辺 $104976$ は右辺 $72900$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 10.2

区間 $- 15 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.2.1

区間 $- 15 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 10.2.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

${(- 2)}^{4} > 225 {(- 2)}^{2}$

ステップ 10.2.3

左辺 $16$ は右辺 $900$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 10.3

区間 $0 < x < 15$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.3.1

区間 $0 < x < 15$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 10.3.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

${(2)}^{4} > 225 {(2)}^{2}$

ステップ 10.3.3

左辺 $16$ は右辺 $900$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 10.4

区間 $x > 15$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.4.1

区間 $x > 15$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 18$

ステップ 10.4.2

$x$ を元の不等式の $18$ で置き換えます。

${(18)}^{4} > 225 {(18)}^{2}$

ステップ 10.4.3

左辺 $104976$ は右辺 $72900$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 10.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 15$ 真

$- 15 < x < 0$ 偽

$0 < x < 15$ 偽

$x > 15$ 真

$x < - 15$ 真

$- 15 < x < 0$ 偽

$0 < x < 15$ 偽

$x > 15$ 真

ステップ 11

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 15$ または $x > 15$

ステップ 12

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - 15) \cup (15, \infty)$

ステップ 13

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