微分積分学準備例

$2 x^{3} + 6 x^{2} + 5 x + 2$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

$2 {(- 2)}^{3} + 6 {(- 2)}^{2} + 5 (- 2) + 2$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = - 2$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$2 \cdot - 8 + 6 {(- 2)}^{2} + 5 (- 2) + 2$

ステップ 4.1.2

$2$ に $- 8$ をかけます。

$- 16 + 6 {(- 2)}^{2} + 5 (- 2) + 2$

ステップ 4.1.3

$- 2$ を $2$ 乗します。

$- 16 + 6 \cdot 4 + 5 (- 2) + 2$

ステップ 4.1.4

$6$ に $4$ をかけます。

$- 16 + 24 + 5 (- 2) + 2$

ステップ 4.1.5

$5$ に $- 2$ をかけます。

$- 16 + 24 - 10 + 2$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 16$ と $24$ をたし算します。

$8 - 10 + 2$

ステップ 4.2.2

$8$ から $10$ を引きます。

$- 2 + 2$

ステップ 4.2.3

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$0$

ステップ 5

$- 2$ は既知の根なので、多項式を $x + 2$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{2 x^{3} + 6 x^{2} + 5 x + 2}{x + 2}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$- 2$	$2$	$6$	$5$	$2$

ステップ 6.2

被除数 $(2)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$- 2$	$2$	$6$	$5$	$2$

	$2$

ステップ 6.3

結果 $(2)$ の最新の項目に除数 $(- 2)$ を掛け、 $(- 4)$ の結果を被除数 $(6)$ の隣の項の下に置きます。

$- 2$	$2$	$6$	$5$	$2$
		$- 4$
	$2$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 2$	$2$	$6$	$5$	$2$
		$- 4$
	$2$	$2$

ステップ 6.5

結果 $(2)$ の最新の項目に除数 $(- 2)$ を掛け、 $(- 4)$ の結果を被除数 $(5)$ の隣の項の下に置きます。

$- 2$	$2$	$6$	$5$	$2$
		$- 4$	$- 4$
	$2$	$2$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 2$	$2$	$6$	$5$	$2$
		$- 4$	$- 4$
	$2$	$2$	$1$

ステップ 6.7

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(- 2)$ を掛け、 $(- 2)$ の結果を被除数 $(2)$ の隣の項の下に置きます。

$- 2$	$2$	$6$	$5$	$2$
		$- 4$	$- 4$	$- 2$
	$2$	$2$	$1$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- 2$	$2$	$6$	$5$	$2$
		$- 4$	$- 4$	$- 2$
	$2$	$2$	$1$	$0$

ステップ 6.9

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$2 x^{2} + 2 x + 1$

ステップ 7

方程式を解き、残りの根を求めます。

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ステップ 7.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 7.2

$a = 2$ 、 $b = 2$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.3

簡約します。

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ステップ 7.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.3.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 7.3.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.3.1.2.2

$- 8$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.3.1.3

$4$ から $8$ を引きます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.3.1.4

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.3.1.5

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.3.1.7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.3.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.3.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{4}$

ステップ 7.3.3

$\frac{- 2 \pm 2 i}{4}$ を簡約します。

$x = \frac{- 1 \pm i}{2}$

ステップ 7.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 7.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.4.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.4.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 7.4.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.4.1.2.2

$- 8$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.4.1.3

$4$ から $8$ を引きます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.4.1.4

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.4.1.5

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.4.1.7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.4.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.4.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{4}$

ステップ 7.4.3

$\frac{- 2 \pm 2 i}{4}$ を簡約します。

$x = \frac{- 1 \pm i}{2}$

ステップ 7.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- 1 + i}{2}$

ステップ 7.4.5

分数 $\frac{- 1 + i}{2}$ を2つの分数に分割します。

$x = \frac{- 1}{2} + \frac{i}{2}$

ステップ 7.4.6

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$

ステップ 7.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 7.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.5.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.5.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 7.5.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.5.1.2.2

$- 8$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.5.1.3

$4$ から $8$ を引きます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.5.1.4

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.5.1.5

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.5.1.7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.5.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.5.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{4}$

ステップ 7.5.3

$\frac{- 2 \pm 2 i}{4}$ を簡約します。

$x = \frac{- 1 \pm i}{2}$

ステップ 7.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- 1 - i}{2}$

ステップ 7.5.5

分数 $\frac{- 1 - i}{2}$ を2つの分数に分割します。

$x = \frac{- 1}{2} + \frac{- i}{2}$

ステップ 7.5.6

各項を簡約します。

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ステップ 7.5.6.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{2} + \frac{- i}{2}$

ステップ 7.5.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

ステップ 7.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

ステップ 8

多項式は線形因数の集合として書くことができません。

$(x + 2) (x + \frac{1}{2} - \frac{i}{2}) (x + \frac{1}{2} + \frac{i}{2})$

ステップ 9

多項式 $2 x^{3} + 6 x^{2} + 5 x + 2$ の根（0）です。

$x = - 2, - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

ステップ 10

微分積分学準備 例

微分積分学準備例