微分積分学準備例

$2 x^{4} + 7 x^{3} - 87 x^{2} - 395 x - 175$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 7, \pm 25, \pm 35, \pm 175$

$q = \pm 1, \pm 2$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm 25, \pm \frac{25}{2}, \pm 35, \pm \frac{35}{2}, \pm 175, \pm \frac{175}{2}$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

$2 {(- \frac{1}{2})}^{4} + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = - \frac{1}{2}$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

積の法則を $- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

$2 ({(- 1)}^{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

ステップ 4.1.1.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$2 ({(- 1)}^{4} \frac{1^{4}}{2^{4}}) + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

ステップ 4.1.2

$- 1$ を $4$ 乗します。

$2 (1 \frac{1^{4}}{2^{4}}) + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

ステップ 4.1.3

$\frac{1^{4}}{2^{4}}$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{1^{4}}{2^{4}} + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

ステップ 4.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$2 \frac{1}{2^{4}} + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

ステップ 4.1.5

$2$ を $4$ 乗します。

$2 (\frac{1}{16}) + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

ステップ 4.1.6

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$2 \frac{1}{2 (8)} + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

ステップ 4.1.6.2

共通因数を約分します。

$2 \frac{1}{2 \cdot 8} + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

ステップ 4.1.6.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{8} + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

ステップ 4.1.7

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.7.1

積の法則を $- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\frac{1}{8} + 7 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

ステップ 4.1.7.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\frac{1}{8} + 7 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

ステップ 4.1.8

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{8} + 7 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

ステップ 4.1.9

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{8} + 7 (- \frac{1}{2^{3}}) - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

ステップ 4.1.10

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{8} + 7 (- \frac{1}{8}) - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

ステップ 4.1.11

$7 (- \frac{1}{8})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.11.1

$- 1$ に $7$ をかけます。

$\frac{1}{8} - 7 (\frac{1}{8}) - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

ステップ 4.1.11.2

$- 7$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$\frac{1}{8} + \frac{- 7}{8} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

ステップ 4.1.12

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

ステップ 4.1.13

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 4.1.13.1

積の法則を $- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - 87 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

ステップ 4.1.13.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - 87 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

ステップ 4.1.14

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - 87 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

ステップ 4.1.15

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - 87 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

ステップ 4.1.16

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - 87 \frac{1}{2^{2}} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

ステップ 4.1.17

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - 87 (\frac{1}{4}) - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

ステップ 4.1.18

$- 87$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} + \frac{- 87}{4} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

ステップ 4.1.19

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - \frac{87}{4} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

ステップ 4.1.20

$- 395 (- \frac{1}{2})$ を掛けます。

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ステップ 4.1.20.1

$- 1$ に $- 395$ をかけます。

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - \frac{87}{4} + 395 (\frac{1}{2}) - 175$

ステップ 4.1.20.2

$395$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - \frac{87}{4} + \frac{395}{2} - 175$

ステップ 4.2

分数をまとめます。

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ステップ 4.2.1

公分母の分子をまとめます。

$- 175 + \frac{1 - 7}{8} + \frac{- 87}{4} + \frac{395}{2}$

ステップ 4.2.2

$1$ から $7$ を引きます。

$- 175 + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87}{4} + \frac{395}{2}$

ステップ 4.3

公分母を求めます。

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ステップ 4.3.1

$- 175$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{- 175}{1} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87}{4} + \frac{395}{2}$

ステップ 4.3.2

$\frac{- 175}{1}$ に $\frac{8}{8}$ をかけます。

$\frac{- 175}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87}{4} + \frac{395}{2}$

ステップ 4.3.3

$\frac{- 175}{1}$ に $\frac{8}{8}$ をかけます。

$\frac{- 175 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87}{4} + \frac{395}{2}$

ステップ 4.3.4

$\frac{- 87}{4}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{- 175 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{395}{2}$

ステップ 4.3.5

$\frac{- 87}{4}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{- 175 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{395}{2}$

ステップ 4.3.6

$\frac{395}{2}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{- 175 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{395}{2} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 4.3.7

$\frac{395}{2}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{- 175 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{395 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

ステップ 4.3.8

$4 \cdot 2$ の因数を並べ替えます。

$\frac{- 175 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{395 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

ステップ 4.3.9

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{- 175 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87 \cdot 2}{8} + \frac{395 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

ステップ 4.3.10

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{- 175 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87 \cdot 2}{8} + \frac{395 \cdot 4}{8}$

ステップ 4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 175 \cdot 8 - 6 - 87 \cdot 2 + 395 \cdot 4}{8}$

ステップ 4.5

各項を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$- 175$ に $8$ をかけます。

$\frac{- 1400 - 6 - 87 \cdot 2 + 395 \cdot 4}{8}$

ステップ 4.5.2

$- 87$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 1400 - 6 - 174 + 395 \cdot 4}{8}$

ステップ 4.5.3

$395$ に $4$ をかけます。

$\frac{- 1400 - 6 - 174 + 1580}{8}$

ステップ 4.6

式を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$- 1400$ から $6$ を引きます。

$\frac{- 1406 - 174 + 1580}{8}$

ステップ 4.6.2

$- 1406$ から $174$ を引きます。

$\frac{- 1580 + 1580}{8}$

ステップ 4.6.3

$- 1580$ と $1580$ をたし算します。

$\frac{0}{8}$

ステップ 4.6.4

$0$ を $8$ で割ります。

$0$

ステップ 5

$- \frac{1}{2}$ は既知の根なので、多項式を $x + \frac{1}{2}$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{2 x^{4} + 7 x^{3} - 87 x^{2} - 395 x - 175}{x + \frac{1}{2}}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$

ステップ 6.2

被除数 $(2)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$

	$2$

ステップ 6.3

結果 $(2)$ の最新の項目に除数 $(- \frac{1}{2})$ を掛け、 $(- 1)$ の結果を被除数 $(7)$ の隣の項の下に置きます。

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$
		$- 1$
	$2$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$
		$- 1$
	$2$	$6$

ステップ 6.5

結果 $(6)$ の最新の項目に除数 $(- \frac{1}{2})$ を掛け、 $(- 3)$ の結果を被除数 $(- 87)$ の隣の項の下に置きます。

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$
		$- 1$	$- 3$
	$2$	$6$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$
		$- 1$	$- 3$
	$2$	$6$	$- 90$

ステップ 6.7

結果 $(- 90)$ の最新の項目に除数 $(- \frac{1}{2})$ を掛け、 $(45)$ の結果を被除数 $(- 395)$ の隣の項の下に置きます。

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$
		$- 1$	$- 3$	$45$
	$2$	$6$	$- 90$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$
		$- 1$	$- 3$	$45$
	$2$	$6$	$- 90$	$- 350$

ステップ 6.9

結果 $(- 350)$ の最新の項目に除数 $(- \frac{1}{2})$ を掛け、 $(175)$ の結果を被除数 $(- 175)$ の隣の項の下に置きます。

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$
		$- 1$	$- 3$	$45$	$175$
	$2$	$6$	$- 90$	$- 350$

ステップ 6.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$
		$- 1$	$- 3$	$45$	$175$
	$2$	$6$	$- 90$	$- 350$	$0$

ステップ 6.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$2 x^{3} + 6 x^{2} + (- 90) x - 350$

ステップ 6.12

商の多項式を簡約します。

$2 x^{3} + 6 x^{2} - 90 x - 350$

ステップ 7

$2$ を $2 x^{3} + 6 x^{2} - 90 x - 350$ で因数分解します。

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ステップ 7.1

$2$ を $2 x^{3}$ で因数分解します。

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 6 x^{2} - 90 x - 350)$

ステップ 7.2

$2$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (3 x^{2}) - 90 x - 350)$

ステップ 7.3

$2$ を $- 90 x$ で因数分解します。

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (3 x^{2}) + 2 (- 45 x) - 350)$

ステップ 7.4

$2$ を $- 350$ で因数分解します。

$(x + \frac{1}{2}) (2 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + 2 (- 45 x) + 2 \cdot - 175)$

ステップ 7.5

$2$ を $2 x^{3} + 2 (3 x^{2})$ で因数分解します。

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3} + 3 x^{2}) + 2 (- 45 x) + 2 \cdot - 175)$

ステップ 7.6

$2$ を $2 (x^{3} + 3 x^{2}) + 2 (- 45 x)$ で因数分解します。

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3} + 3 x^{2} - 45 x) + 2 \cdot - 175)$

ステップ 7.7

$2$ を $2 (x^{3} + 3 x^{2} - 45 x) + 2 \cdot - 175$ で因数分解します。

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3} + 3 x^{2} - 45 x - 175))$

ステップ 8

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 8.1

有理根検定を用いて $2 x^{4} + 7 x^{3} - 87 x^{2} - 395 x - 175$ を因数分解します。

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ステップ 8.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 175, \pm 5, \pm 35, \pm 7, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 2$

ステップ 8.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 175, \pm 87.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 35, \pm 17.5, \pm 7, \pm 3.5, \pm 25, \pm 12.5$

ステップ 8.1.3

$- 0.5$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 0.5$ は多項式の根です。

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ステップ 8.1.3.1

$- 0.5$ を多項式に代入します。

$2 {(- 0.5)}^{4} + 7 {(- 0.5)}^{3} - 87 {(- 0.5)}^{2} - 395 \cdot - 0.5 - 175$

ステップ 8.1.3.2

$- 0.5$ を $4$ 乗します。

$2 \cdot 0.0625 + 7 {(- 0.5)}^{3} - 87 {(- 0.5)}^{2} - 395 \cdot - 0.5 - 175$

ステップ 8.1.3.3

$2$ に $0.0625$ をかけます。

$0.125 + 7 {(- 0.5)}^{3} - 87 {(- 0.5)}^{2} - 395 \cdot - 0.5 - 175$

ステップ 8.1.3.4

$- 0.5$ を $3$ 乗します。

$0.125 + 7 \cdot - 0.125 - 87 {(- 0.5)}^{2} - 395 \cdot - 0.5 - 175$

ステップ 8.1.3.5

$7$ に $- 0.125$ をかけます。

$0.125 - 0.875 - 87 {(- 0.5)}^{2} - 395 \cdot - 0.5 - 175$

ステップ 8.1.3.6

$0.125$ から $0.875$ を引きます。

$- 0.75 - 87 {(- 0.5)}^{2} - 395 \cdot - 0.5 - 175$

ステップ 8.1.3.7

$- 0.5$ を $2$ 乗します。

$- 0.75 - 87 \cdot 0.25 - 395 \cdot - 0.5 - 175$

ステップ 8.1.3.8

$- 87$ に $0.25$ をかけます。

$- 0.75 - 21.75 - 395 \cdot - 0.5 - 175$

ステップ 8.1.3.9

$- 0.75$ から $21.75$ を引きます。

$- 22.5 - 395 \cdot - 0.5 - 175$

ステップ 8.1.3.10

$- 395$ に $- 0.5$ をかけます。

$- 22.5 + 197.5 - 175$

ステップ 8.1.3.11

$- 22.5$ と $197.5$ をたし算します。

$175 - 175$

ステップ 8.1.3.12

$175$ から $175$ を引きます。

$0$

ステップ 8.1.4

$- 0.5$ は既知の根なので、多項式を $2 x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{2 x^{4} + 7 x^{3} - 87 x^{2} - 395 x - 175}{2 x + 1}$

ステップ 8.1.5

$2 x^{4} + 7 x^{3} - 87 x^{2} - 395 x - 175$ を $2 x + 1$ で割ります。

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ステップ 8.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

ステップ 8.1.5.2

被除数 $2 x^{4}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

ステップ 8.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

ステップ 8.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x^{4} + x^{3}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{3}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{4}$	+	$7 x^{3}$	-	$87 x^{2}$	-	$395 x$	-	$175$
			-	$2 x^{4}$	-	$x^{3}$

ステップ 8.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

ステップ 8.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

ステップ 8.1.5.7

被除数 $6 x^{3}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

ステップ 8.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

ステップ 8.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $6 x^{3} + 3 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

ステップ 8.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$90 x^{2}$

ステップ 8.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$90 x^{2}$

$395 x$

ステップ 8.1.5.12

被除数 $- 90 x^{2}$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$45 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$90 x^{2}$

$395 x$

ステップ 8.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{4}$	+	$7 x^{3}$	-	$87 x^{2}$	-	$395 x$	-	$175$
			-	$2 x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$6 x^{3}$	-	$87 x^{2}$
					-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$90 x^{2}$	-	$395 x$
							-	$90 x^{2}$	-	$45 x$

ステップ 8.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 90 x^{2} - 45 x$ の符号をすべて変更します。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$45 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$90 x^{2}$

$395 x$

$90 x^{2}$

$45 x$

ステップ 8.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$45 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$90 x^{2}$

$395 x$

$90 x^{2}$

$45 x$

$350 x$

ステップ 8.1.5.16

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$45 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$90 x^{2}$

$395 x$

$90 x^{2}$

$45 x$

$350 x$

$175$

ステップ 8.1.5.17

被除数 $- 350 x$ の最高次項を除数 $2 x$ の最高次項で割ります。

				$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{4}$	+	$7 x^{3}$	-	$87 x^{2}$	-	$395 x$	-	$175$
			-	$2 x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$6 x^{3}$	-	$87 x^{2}$
					-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$90 x^{2}$	-	$395 x$
							+	$90 x^{2}$	+	$45 x$
									-	$350 x$	-	$175$

ステップ 8.1.5.18

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{4}$	+	$7 x^{3}$	-	$87 x^{2}$	-	$395 x$	-	$175$
			-	$2 x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$6 x^{3}$	-	$87 x^{2}$
					-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$90 x^{2}$	-	$395 x$
							+	$90 x^{2}$	+	$45 x$
									-	$350 x$	-	$175$
									-	$350 x$	-	$175$

ステップ 8.1.5.19

式は被除数から引く必要があるので、 $- 350 x - 175$ の符号をすべて変更します。

				$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{4}$	+	$7 x^{3}$	-	$87 x^{2}$	-	$395 x$	-	$175$
			-	$2 x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$6 x^{3}$	-	$87 x^{2}$
					-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$90 x^{2}$	-	$395 x$
							+	$90 x^{2}$	+	$45 x$
									-	$350 x$	-	$175$
									+	$350 x$	+	$175$

ステップ 8.1.5.20

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{4}$	+	$7 x^{3}$	-	$87 x^{2}$	-	$395 x$	-	$175$
			-	$2 x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$6 x^{3}$	-	$87 x^{2}$
					-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$90 x^{2}$	-	$395 x$
							+	$90 x^{2}$	+	$45 x$
									-	$350 x$	-	$175$
									+	$350 x$	+	$175$
												$0$

ステップ 8.1.5.21

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{3} + 3 x^{2} - 45 x - 175$

ステップ 8.1.6

$2 x^{4} + 7 x^{3} - 87 x^{2} - 395 x - 175$ を因数の集合として書き換えます。

$(2 x + 1) (x^{3} + 3 x^{2} - 45 x - 175) = 0$

ステップ 8.2

有理根検定を用いて $x^{3} + 3 x^{2} - 45 x - 175$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 175, \pm 5, \pm 35, \pm 7, \pm 25$

$q = \pm 1$

ステップ 8.2.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 175, \pm 5, \pm 35, \pm 7, \pm 25$

ステップ 8.2.3

$- 5$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 5$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1

$- 5$ を多項式に代入します。

${(- 5)}^{3} + 3 {(- 5)}^{2} - 45 \cdot - 5 - 175$

ステップ 8.2.3.2

$- 5$ を $3$ 乗します。

$- 125 + 3 {(- 5)}^{2} - 45 \cdot - 5 - 175$

ステップ 8.2.3.3

$- 5$ を $2$ 乗します。

$- 125 + 3 \cdot 25 - 45 \cdot - 5 - 175$

ステップ 8.2.3.4

$3$ に $25$ をかけます。

$- 125 + 75 - 45 \cdot - 5 - 175$

ステップ 8.2.3.5

$- 125$ と $75$ をたし算します。

$- 50 - 45 \cdot - 5 - 175$

ステップ 8.2.3.6

$- 45$ に $- 5$ をかけます。

$- 50 + 225 - 175$

ステップ 8.2.3.7

$- 50$ と $225$ をたし算します。

$175 - 175$

ステップ 8.2.3.8

$175$ から $175$ を引きます。

$0$

ステップ 8.2.4

$- 5$ は既知の根なので、多項式を $x + 5$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 45 x - 175}{x + 5}$

ステップ 8.2.5

$x^{3} + 3 x^{2} - 45 x - 175$ を $x + 5$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$5$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$45 x$

$175$

ステップ 8.2.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$

ステップ 8.2.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			+	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

ステップ 8.2.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} + 5 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

ステップ 8.2.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

ステップ 8.2.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$

ステップ 8.2.5.7

被除数 $- 2 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$

ステップ 8.2.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$

ステップ 8.2.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 2 x^{2} - 10 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$10 x$

ステップ 8.2.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$35 x$

ステップ 8.2.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$35 x$	-	$175$

ステップ 8.2.5.12

被除数 $- 35 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$35$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$35 x$	-	$175$

ステップ 8.2.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$35$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$35 x$	-	$175$
							-	$35 x$	-	$175$

ステップ 8.2.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 35 x - 175$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$35$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$35 x$	-	$175$
							+	$35 x$	+	$175$

ステップ 8.2.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$35$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$35 x$	-	$175$
							+	$35 x$	+	$175$
										$0$

ステップ 8.2.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 2 x - 35$

ステップ 8.2.6

$x^{3} + 3 x^{2} - 45 x - 175$ を因数の集合として書き換えます。

$(2 x + 1) ((x + 5) (x^{2} - 2 x - 35)) = 0$

ステップ 8.3

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 35$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 35$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 35$ で、その和が $- 2$ です。

$- 7, 5$

ステップ 8.3.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(2 x + 1) ((x + 5) ((x - 7) (x + 5))) = 0$

ステップ 8.3.2

不要な括弧を削除します。

$(2 x + 1) ((x + 5) (x - 7) (x + 5)) = 0$

ステップ 8.4

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.1

$x + 5$ を $1$ 乗します。

$(2 x + 1) ((x + 5) (x + 5) (x - 7)) = 0$

ステップ 8.4.1.2

$x + 5$ を $1$ 乗します。

$(2 x + 1) ((x + 5) (x + 5) (x - 7)) = 0$

ステップ 8.4.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(2 x + 1) ({(x + 5)}^{1 + 1} (x - 7)) = 0$

ステップ 8.4.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$(2 x + 1) ({(x + 5)}^{2} (x - 7)) = 0$

ステップ 8.4.2

不要な括弧を削除します。

$(2 x + 1) {(x + 5)}^{2} (x - 7) = 0$

ステップ 9

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x + 1 = 0$

${(x + 5)}^{2} = 0$

$x - 7 = 0$

ステップ 10

$2 x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$2 x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x + 1 = 0$

ステップ 10.2

$x$ について $2 x + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 x = - 1$

ステップ 10.2.2

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 10.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 10.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{2}$

ステップ 10.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{2}$

ステップ 11

${(x + 5)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

${(x + 5)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 5)}^{2} = 0$

ステップ 11.2

$x$ について ${(x + 5)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 11.2.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 12

$x - 7$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$x - 7$ が $0$ に等しいとします。

$x - 7 = 0$

ステップ 12.2

方程式の両辺に $7$ を足します。

$x = 7$

ステップ 13

最終解は $(2 x + 1) {(x + 5)}^{2} (x - 7) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{1}{2}, - 5, 7$

ステップ 14

微分積分学準備 例

微分積分学準備例