微分積分学準備例

$3 x^{3} - 7 x^{2} - 75 x + 175$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 7, \pm 25, \pm 35, \pm 175$

$q = \pm 1, \pm 3$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 5, \pm \frac{5}{3}, \pm 7, \pm \frac{7}{3}, \pm 25, \pm \frac{25}{3}, \pm 35, \pm \frac{35}{3}, \pm 175, \pm \frac{175}{3}$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

$3 {(5)}^{3} - 7 {(5)}^{2} - 75 \cdot 5 + 175$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = 5$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$5$ を $3$ 乗します。

$3 \cdot 125 - 7 {(5)}^{2} - 75 \cdot 5 + 175$

ステップ 4.1.2

$3$ に $125$ をかけます。

$375 - 7 {(5)}^{2} - 75 \cdot 5 + 175$

ステップ 4.1.3

$5$ を $2$ 乗します。

$375 - 7 \cdot 25 - 75 \cdot 5 + 175$

ステップ 4.1.4

$- 7$ に $25$ をかけます。

$375 - 175 - 75 \cdot 5 + 175$

ステップ 4.1.5

$- 75$ に $5$ をかけます。

$375 - 175 - 375 + 175$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$375$ から $175$ を引きます。

$200 - 375 + 175$

ステップ 4.2.2

$200$ から $375$ を引きます。

$- 175 + 175$

ステップ 4.2.3

$- 175$ と $175$ をたし算します。

$0$

ステップ 5

$5$ は既知の根なので、多項式を $x - 5$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{3 x^{3} - 7 x^{2} - 75 x + 175}{x - 5}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$

ステップ 6.2

被除数 $(3)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$

	$3$

ステップ 6.3

結果 $(3)$ の最新の項目に除数 $(5)$ を掛け、 $(15)$ の結果を被除数 $(- 7)$ の隣の項の下に置きます。

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$
		$15$
	$3$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$
		$15$
	$3$	$8$

ステップ 6.5

結果 $(8)$ の最新の項目に除数 $(5)$ を掛け、 $(40)$ の結果を被除数 $(- 75)$ の隣の項の下に置きます。

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$
		$15$	$40$
	$3$	$8$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$
		$15$	$40$
	$3$	$8$	$- 35$

ステップ 6.7

結果 $(- 35)$ の最新の項目に除数 $(5)$ を掛け、 $(- 175)$ の結果を被除数 $(175)$ の隣の項の下に置きます。

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$
		$15$	$40$	$- 175$
	$3$	$8$	$- 35$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$
		$15$	$40$	$- 175$
	$3$	$8$	$- 35$	$0$

ステップ 6.9

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$3 x^{2} + 8 x - 35$

ステップ 7

群による因数分解。

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ステップ 7.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 35 = - 105$ で和が $b = 8$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 7.1.1

$8$ を $8 x$ で因数分解します。

$(x - 5) + 3 x^{2} + 8 (x) - 35$

ステップ 7.1.2

$8$ を $- 7$ プラス $15$ に書き換える

$(x - 5) + 3 x^{2} + (- 7 + 15) x - 35$

ステップ 7.1.3

分配則を当てはめます。

$(x - 5) + 3 x^{2} - 7 x + 15 x - 35$

ステップ 7.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 7.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x - 5) (3 x^{2} - 7 x) + 15 x - 35$

ステップ 7.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x - 5) + x (3 x - 7) + 5 (3 x - 7)$

ステップ 7.3

最大公約数 $3 x - 7$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x - 5) + (3 x - 7) (x + 5)$

$(x - 5) (3 x - 7) (x + 5)$

ステップ 8

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 8.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 8.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(3 x^{3} - 7 x^{2}) - 75 x + 175 = 0$

ステップ 8.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x^{2} (3 x - 7) - 25 (3 x - 7) = 0$

ステップ 8.2

最大公約数 $3 x - 7$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(3 x - 7) (x^{2} - 25) = 0$

ステップ 8.3

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$(3 x - 7) (x^{2} - 5^{2}) = 0$

ステップ 8.4

因数分解。

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ステップ 8.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 5$ です。

$(3 x - 7) ((x + 5) (x - 5)) = 0$

ステップ 8.4.2

不要な括弧を削除します。

$(3 x - 7) (x + 5) (x - 5) = 0$

ステップ 9

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x - 7 = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

ステップ 10

$3 x - 7$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 10.1

$3 x - 7$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 7 = 0$

ステップ 10.2

$x$ について $3 x - 7 = 0$ を解きます。

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ステップ 10.2.1

方程式の両辺に $7$ を足します。

$3 x = 7$

ステップ 10.2.2

$3 x = 7$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 10.2.2.1

$3 x = 7$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

ステップ 10.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 10.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

ステップ 10.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{7}{3}$

ステップ 11

$x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 11.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 11.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 12

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 12.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 12.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 13

最終解は $(3 x - 7) (x + 5) (x - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{7}{3}, - 5, 5$

ステップ 14

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