微分積分学準備例

$2^{7 - 3 x} = \frac{1}{4}$

ステップ 1

方程式の両辺から $\frac{1}{4}$ を引きます。

$2^{7 - 3 x} - \frac{1}{4} = 0$

ステップ 2

$2^{7 - 3 x} - \frac{1}{4}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$2^{7 - 3 x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$2^{7 - 3 x} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = 0$

ステップ 2.2

$2^{7 - 3 x}$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{2^{7 - 3 x} \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} = 0$

ステップ 2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2^{7 - 3 x} \cdot 4 - 1}{4} = 0$

ステップ 2.4

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2^{7 - 3 x} \cdot 2^{2} - 1}{4} = 0$

ステップ 2.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2^{7 - 3 x + 2} - 1}{4} = 0$

ステップ 2.4.3

$7$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2^{- 3 x + 9} - 1}{4} = 0$

ステップ 2.4.4

$2^{- 3 x + 9}$ を ${(2^{- x + 3})}^{3}$ に書き換えます。

$\frac{{(2^{- x + 3})}^{3} - 1}{4} = 0$

ステップ 2.4.5

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$\frac{{(2^{- x + 3})}^{3} - 1^{3}}{4} = 0$

ステップ 2.4.6

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2^{- x + 3}$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) ({(2^{- x + 3})}^{2} + 2^{- x + 3} \cdot 1 + 1^{2})}{4} = 0$

ステップ 2.4.7

簡約します。

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ステップ 2.4.7.1

${(2^{- x + 3})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.4.7.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{(- x + 3) \cdot 2} + 2^{- x + 3} \cdot 1 + 1^{2})}{4} = 0$

ステップ 2.4.7.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{- x \cdot 2 + 3 \cdot 2} + 2^{- x + 3} \cdot 1 + 1^{2})}{4} = 0$

ステップ 2.4.7.1.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 3 \cdot 2} + 2^{- x + 3} \cdot 1 + 1^{2})}{4} = 0$

ステップ 2.4.7.1.4

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 1 + 1^{2})}{4} = 0$

ステップ 2.4.7.2

$2^{- x + 3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} + 1^{2})}{4} = 0$

ステップ 2.4.7.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} + 1)}{4} = 0$

ステップ 3

分子を0に等しくします。

$(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} + 1) = 0$

ステップ 4

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 4.1

$(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} + 1)$ を簡約します。

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ステップ 4.1.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} + 1)$ を展開します。

$2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} + 2^{- x + 3} \cdot 1 - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 4.1.2

項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} + 2^{- x + 3} \cdot 1 - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.1.2.1.1

$2^{- x + 3} \cdot 1$ と $- 1 \cdot 2^{- x + 3}$ について因数を並べ替えます。

$2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} + 1 \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 4.1.2.1.2

$1 \cdot 2^{- x + 3}$ から $1 \cdot 2^{- x + 3}$ を引きます。

$2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} + 0 - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 4.1.2.1.3

$2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3}$ と $0$ をたし算します。

$2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 4.1.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

指数を足して $2^{- x + 3}$ に $2^{- 2 x + 6}$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.2.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2^{- x + 3 - 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 4.1.2.2.1.2

$- x$ から $2 x$ を引きます。

$2^{- 3 x + 3 + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 4.1.2.2.1.3

$3$ と $6$ をたし算します。

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 4.1.2.2.2

指数を足して $2^{- x + 3}$ に $2^{- x + 3}$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.2.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- x + 3 - x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 4.1.2.2.2.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- 2 x + 3 + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 4.1.2.2.2.3

$3$ と $3$ をたし算します。

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 4.1.2.2.3

$- 1 \cdot 2^{- 2 x + 6}$ を $- 2^{- 2 x + 6}$ に書き換えます。

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- 2 x + 6} - 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 4.1.2.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- 2 x + 6} - 2^{- 2 x + 6} - 1 = 0$

ステップ 4.1.2.3

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- 2 x + 6} - 2^{- 2 x + 6} - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.1.2.3.1

$2^{- 2 x + 6}$ から $2^{- 2 x + 6}$ を引きます。

$2^{- 3 x + 9} + 0 - 1 = 0$

ステップ 4.1.2.3.2

$2^{- 3 x + 9}$ と $0$ をたし算します。

$2^{- 3 x + 9} - 1 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2^{- 3 x + 9} = 1$

ステップ 4.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (2^{- 3 x + 9}) = \ln (1)$

ステップ 4.4

$- 3 x + 9$ を対数の外に移動させて、 $\ln (2^{- 3 x + 9})$ を展開します。

$(- 3 x + 9) \ln (2) = \ln (1)$

ステップ 4.5

左辺を簡約します。

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ステップ 4.5.1

分配則を当てはめます。

$- 3 x \ln (2) + 9 \ln (2) = \ln (1)$

ステップ 4.6

右辺を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$- 3 x \ln (2) + 9 \ln (2) = 0$

ステップ 4.7

方程式の両辺から $9 \ln (2)$ を引きます。

$- 3 x \ln (2) = - 9 \ln (2)$

ステップ 4.8

$- 3 x \ln (2) = - 9 \ln (2)$ の各項を $- 3 \ln (2)$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.8.1

$- 3 x \ln (2) = - 9 \ln (2)$ の各項を $- 3 \ln (2)$ で割ります。

$\frac{- 3 x \ln (2)}{- 3 \ln (2)} = \frac{- 9 \ln (2)}{- 3 \ln (2)}$

ステップ 4.8.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.8.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 x \ln (2)}{- 3 \ln (2)} = \frac{- 9 \ln (2)}{- 3 \ln (2)}$

ステップ 4.8.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- 9 \ln (2)}{- 3 \ln (2)}$

ステップ 4.8.2.2

$\ln (2)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.8.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- 9 \ln (2)}{- 3 \ln (2)}$

ステップ 4.8.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 9 \ln (2)}{- 3 \ln (2)}$

ステップ 4.8.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.8.3.1

$- 9$ と $- 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.8.3.1.1

$- 3$ を $- 9 \ln (2)$ で因数分解します。

$x = \frac{- 3 (3 \ln (2))}{- 3 \ln (2)}$

ステップ 4.8.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.8.3.1.2.1

$- 3$ を $- 3 \ln (2)$ で因数分解します。

$x = \frac{- 3 (3 \ln (2))}{- 3 \ln (2)}$

ステップ 4.8.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{- 3 (3 \ln (2))}{- 3 \ln (2)}$

ステップ 4.8.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{3 \ln (2)}{\ln (2)}$

ステップ 4.8.3.2

$\ln (2)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.8.3.2.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{3 \ln (2)}{\ln (2)}$

ステップ 4.8.3.2.2

$3$ を $1$ で割ります。

$x = 3$

微分積分学準備 例

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