微分積分学準備例

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} + 50 x + 75$

ステップ 1

$2 x^{3} + 3 x^{2} + 50 x + 75$ が $0$ に等しいとします。

$2 x^{3} + 3 x^{2} + 50 x + 75 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(2 x^{3} + 3 x^{2}) + 50 x + 75 = 0$

ステップ 2.1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x^{2} (2 x + 3) + 25 (2 x + 3) = 0$

ステップ 2.1.2

最大公約数 $2 x + 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 x + 3) (x^{2} + 25) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x + 3 = 0$

$x^{2} + 25 = 0$

ステップ 2.3

$2 x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$2 x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$2 x + 3 = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について $2 x + 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$2 x = - 3$

ステップ 2.3.2.2

$2 x = - 3$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

$2 x = - 3$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

ステップ 2.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

ステップ 2.3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 3}{2}$

ステップ 2.3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{3}{2}$

ステップ 2.4

$x^{2} + 25$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x^{2} + 25$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 25 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{2} + 25 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺から $25$ を引きます。

$x^{2} = - 25$

ステップ 2.4.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 25}$

ステップ 2.4.2.3

$\pm \sqrt{- 25}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.2.3.1

$- 25$ を $- 1 (25)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (25)}$

ステップ 2.4.2.3.2

$\sqrt{- 1 (25)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$

ステップ 2.4.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{25}$

ステップ 2.4.2.3.4

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{5^{2}}$

ステップ 2.4.2.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot 5$

ステップ 2.4.2.3.6

$5$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 5 i$

ステップ 2.4.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.4.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 5 i$

ステップ 2.4.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 5 i$

ステップ 2.4.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 5 i, - 5 i$

ステップ 2.5

最終解は $(2 x + 3) (x^{2} + 25) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{3}{2}, 5 i, - 5 i$

ステップ 3

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