微分積分学準備例

$f (x) = x^{5} - 5 x^{3} + 4 x$

ステップ 1

$x^{5} - 5 x^{3} + 4 x$ が $0$ に等しいとします。

$x^{5} - 5 x^{3} + 4 x = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$x$ を $x^{5} - 5 x^{3} + 4 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

$x$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{4} - 5 x^{3} + 4 x = 0$

ステップ 2.1.1.2

$x$ を $- 5 x^{3}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{4} + x (- 5 x^{2}) + 4 x = 0$

ステップ 2.1.1.3

$x$ を $4 x$ で因数分解します。

$x \cdot x^{4} + x (- 5 x^{2}) + x \cdot 4 = 0$

ステップ 2.1.1.4

$x$ を $x \cdot x^{4} + x (- 5 x^{2})$ で因数分解します。

$x (x^{4} - 5 x^{2}) + x \cdot 4 = 0$

ステップ 2.1.1.5

$x$ を $x (x^{4} - 5 x^{2}) + x \cdot 4$ で因数分解します。

$x (x^{4} - 5 x^{2} + 4) = 0$

ステップ 2.1.2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$x ({(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} + 4) = 0$

ステップ 2.1.3

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$x (u^{2} - 5 u + 4) = 0$

ステップ 2.1.4

たすき掛けを利用して $u^{2} - 5 u + 4$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $4$ で、その和が $- 5$ です。

$- 4, - 1$

ステップ 2.1.4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$x ((u - 4) (u - 1)) = 0$

ステップ 2.1.5

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$x ((x^{2} - 4) (x^{2} - 1)) = 0$

ステップ 2.1.6

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 1)) = 0$

ステップ 2.1.7

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1)) = 0$

ステップ 2.1.8

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

ステップ 2.1.9

因数分解。

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ステップ 2.1.9.1

因数分解。

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ステップ 2.1.9.1.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$x ((x + 2) (x - 2) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

ステップ 2.1.9.1.2

不要な括弧を削除します。

$x ((x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1)) = 0$

ステップ 2.1.9.2

不要な括弧を削除します。

$x (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 2.3

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.4

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.6

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.6.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.6.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.7

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.7.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.7.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.8

最終解は $x (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 2, 2, - 1, 1$

ステップ 3

微分積分学準備 例

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