微分積分学準備例

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} - x^{3} + 10 x^{2} - 2 x - 4$

ステップ 1

$x^{5} - 4 x^{4} - x^{3} + 10 x^{2} - 2 x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x^{5} - 4 x^{4} - x^{3} + 10 x^{2} - 2 x - 4 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

項を再分類します。

$x^{5} - x^{3} - 2 x - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

ステップ 2.1.2

$x$ を $x^{5} - x^{3} - 2 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$x$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{4} - x^{3} - 2 x - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

ステップ 2.1.2.2

$x$ を $- x^{3}$ で因数分解します。

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) - 2 x - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

ステップ 2.1.2.3

$x$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot - 2 - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

ステップ 2.1.2.4

$x$ を $x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ で因数分解します。

$x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 2 - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

ステップ 2.1.2.5

$x$ を $x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 2$ で因数分解します。

$x (x^{4} - x^{2} - 2) - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

ステップ 2.1.3

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$x ({(x^{2})}^{2} - x^{2} - 2) - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

ステップ 2.1.4

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$x (u^{2} - u - 2) - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

ステップ 2.1.5

たすき掛けを利用して $u^{2} - u - 2$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 2$ で、その和が $- 1$ です。

$- 2, 1$

ステップ 2.1.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$x ((u - 2) (u + 1)) - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

ステップ 2.1.6

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.1

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$x ((x^{2} - 2) (x^{2} + 1)) - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

ステップ 2.1.6.2

不要な括弧を削除します。

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

ステップ 2.1.7

$2$ を $- 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.7.1

$2$ を $- 4 x^{4}$ で因数分解します。

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 x^{4}) + 10 x^{2} - 4 = 0$

ステップ 2.1.7.2

$2$ を $10 x^{2}$ で因数分解します。

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 x^{4}) + 2 (5 x^{2}) - 4 = 0$

ステップ 2.1.7.3

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 x^{4}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 2) = 0$

ステップ 2.1.7.4

$2$ を $2 (- 2 x^{4}) + 2 (5 x^{2})$ で因数分解します。

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 x^{4} + 5 x^{2}) + 2 (- 2) = 0$

ステップ 2.1.7.5

$2$ を $2 (- 2 x^{4} + 5 x^{2}) + 2 (- 2)$ で因数分解します。

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 x^{4} + 5 x^{2} - 2) = 0$

ステップ 2.1.8

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 {(x^{2})}^{2} + 5 x^{2} - 2) = 0$

ステップ 2.1.9

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 u^{2} + 5 u - 2) = 0$

ステップ 2.1.10

群による因数分解。

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ステップ 2.1.10.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 2 \cdot - 2 = 4$ で和が $b = 5$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.1.10.1.1

$5$ を $5 u$ で因数分解します。

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 u^{2} + 5 (u) - 2) = 0$

ステップ 2.1.10.1.2

$5$ を $1$ プラス $4$ に書き換える

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 u^{2} + (1 + 4) u - 2) = 0$

ステップ 2.1.10.1.3

分配則を当てはめます。

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 u^{2} + 1 u + 4 u - 2) = 0$

ステップ 2.1.10.1.4

$u$ に $1$ をかけます。

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 u^{2} + u + 4 u - 2) = 0$

ステップ 2.1.10.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.1.10.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 ((- 2 u^{2} + u) + 4 u - 2) = 0$

ステップ 2.1.10.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (u (- 2 u + 1) - 2 (- 2 u + 1)) = 0$

ステップ 2.1.10.3

最大公約数 $- 2 u + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 ((- 2 u + 1) (u - 2)) = 0$

ステップ 2.1.11

因数分解。

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ステップ 2.1.11.1

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 ((- 2 x^{2} + 1) (x^{2} - 2)) = 0$

ステップ 2.1.11.2

不要な括弧を削除します。

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 x^{2} + 1) (x^{2} - 2) = 0$

ステップ 2.1.12

$x^{2} - 2$ を $x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 x^{2} + 1) (x^{2} - 2)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.12.1

$x^{2} - 2$ を $x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1)$ で因数分解します。

$(x^{2} - 2) (x (x^{2} + 1)) + 2 (- 2 x^{2} + 1) (x^{2} - 2) = 0$

ステップ 2.1.12.2

$x^{2} - 2$ を $2 (- 2 x^{2} + 1) (x^{2} - 2)$ で因数分解します。

$(x^{2} - 2) (x (x^{2} + 1)) + (x^{2} - 2) (2 (- 2 x^{2} + 1)) = 0$

ステップ 2.1.12.3

$x^{2} - 2$ を $(x^{2} - 2) (x (x^{2} + 1)) + (x^{2} - 2) (2 (- 2 x^{2} + 1))$ で因数分解します。

$(x^{2} - 2) (x (x^{2} + 1) + 2 (- 2 x^{2} + 1)) = 0$

ステップ 2.1.13

分配則を当てはめます。

$(x^{2} - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 2 (- 2 x^{2} + 1)) = 0$

ステップ 2.1.14

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.1.14.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 2.1.14.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$(x^{2} - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 2 (- 2 x^{2} + 1)) = 0$

ステップ 2.1.14.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(x^{2} - 2) (x^{1 + 2} + x \cdot 1 + 2 (- 2 x^{2} + 1)) = 0$

ステップ 2.1.14.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$(x^{2} - 2) (x^{3} + x \cdot 1 + 2 (- 2 x^{2} + 1)) = 0$

ステップ 2.1.15

$x$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} - 2) (x^{3} + x + 2 (- 2 x^{2} + 1)) = 0$

ステップ 2.1.16

分配則を当てはめます。

$(x^{2} - 2) (x^{3} + x + 2 (- 2 x^{2}) + 2 \cdot 1) = 0$

ステップ 2.1.17

$- 2$ に $2$ をかけます。

$(x^{2} - 2) (x^{3} + x - 4 x^{2} + 2 \cdot 1) = 0$

ステップ 2.1.18

$2$ に $1$ をかけます。

$(x^{2} - 2) (x^{3} + x - 4 x^{2} + 2) = 0$

ステップ 2.1.19

項を並べ替えます。

$(x^{2} - 2) (x^{3} - 4 x^{2} + x + 2) = 0$

ステップ 2.1.20

因数分解。

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ステップ 2.1.20.1

有理根検定を用いて $x^{3} - 4 x^{2} + x + 2$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.20.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

ステップ 2.1.20.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 2$

ステップ 2.1.20.1.3

$1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $1$ は多項式の根です。

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ステップ 2.1.20.1.3.1

$1$ を多項式に代入します。

$1^{3} - 4 \cdot 1^{2} + 1 + 2$

ステップ 2.1.20.1.3.2

$1$ を $3$ 乗します。

$1 - 4 \cdot 1^{2} + 1 + 2$

ステップ 2.1.20.1.3.3

$1$ を $2$ 乗します。

$1 - 4 \cdot 1 + 1 + 2$

ステップ 2.1.20.1.3.4

$- 4$ に $1$ をかけます。

$1 - 4 + 1 + 2$

ステップ 2.1.20.1.3.5

$1$ から $4$ を引きます。

$- 3 + 1 + 2$

ステップ 2.1.20.1.3.6

$- 3$ と $1$ をたし算します。

$- 2 + 2$

ステップ 2.1.20.1.3.7

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$0$

ステップ 2.1.20.1.4

$1$ は既知の根なので、多項式を $x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + x + 2}{x - 1}$

ステップ 2.1.20.1.5

$x^{3} - 4 x^{2} + x + 2$ を $x - 1$ で割ります。

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ステップ 2.1.20.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

ステップ 2.1.20.1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$

ステップ 2.1.20.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 2.1.20.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} - x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 2.1.20.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

ステップ 2.1.20.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$

ステップ 2.1.20.1.5.7

被除数 $- 3 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$

ステップ 2.1.20.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$

ステップ 2.1.20.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 3 x^{2} + 3 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$

ステップ 2.1.20.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$

ステップ 2.1.20.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$	+	$2$

ステップ 2.1.20.1.5.12

被除数 $- 2 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$	+	$2$

ステップ 2.1.20.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

ステップ 2.1.20.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 2 x + 2$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

ステップ 2.1.20.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$
										$0$

ステップ 2.1.20.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 3 x - 2$

ステップ 2.1.20.1.6

$x^{3} - 4 x^{2} + x + 2$ を因数の集合として書き換えます。

$(x^{2} - 2) ((x - 1) (x^{2} - 3 x - 2)) = 0$

ステップ 2.1.20.2

不要な括弧を削除します。

$(x^{2} - 2) (x - 1) (x^{2} - 3 x - 2) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{2} - 3 x - 2 = 0$

ステップ 2.3

$x^{2} - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x^{2} - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 2 = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について $x^{2} - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x^{2} = 2$

ステップ 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

ステップ 2.3.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.3.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{2}$

ステップ 2.3.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{2}$

ステップ 2.3.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 2.4

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.5

$x^{2} - 3 x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x^{2} - 3 x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 3 x - 2 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $x^{2} - 3 x - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.5.2.2

$a = 1$ 、 $b = - 3$ 、および $c = - 2$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3

簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ を掛けます。

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ステップ 2.5.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.2.2

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.3

$9$ と $8$ をたし算します。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$

ステップ 2.5.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}, \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$

ステップ 2.6

最終解は $(x^{2} - 2) (x - 1) (x^{2} - 3 x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 1, \frac{3 + \sqrt{17}}{2}, \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$

ステップ 3

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 1, \frac{3 + \sqrt{17}}{2}, \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$

10進法形式：

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots, 1, 3.56155281 \dots, - 0.56155281 \dots$

ステップ 4

微分積分学準備 例

微分積分学準備例