微分積分学準備例

$f (x) = x^{3} - 1$

ステップ 1

$x^{3} - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x^{3} - 1 = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x^{3} = 1$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x^{3} - 1 = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.3.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$x^{3} - 1^{3} = 0$

ステップ 2.3.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

ステップ 2.3.3

簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$x$ に $1$ をかけます。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) = 0$

ステップ 2.3.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

ステップ 2.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

ステップ 2.5

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.6

$x^{2} + x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.6.1

$x^{2} + x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + x + 1 = 0$

ステップ 2.6.2

$x$ について $x^{2} + x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.6.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.6.2.2

$a = 1$ 、 $b = 1$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.3

簡約します。

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ステップ 2.6.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.2.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 2.6.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.3.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.3.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.3.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.6.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.6.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.7

最終解は $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 3

微分積分学準備 例

微分積分学準備例