微分積分学準備例

$4 \sin^{2} (x) - 4 \sin (x) + 1 = 0$

ステップ 1

$u$ を $\sin (x)$ に代入します。

$4 {(u)}^{2} - 4 u + 1 = 0$

ステップ 2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.1

$4 u^{2}$ を ${(2 u)}^{2}$ に書き換えます。

${(2 u)}^{2} - 4 u + 1 = 0$

ステップ 2.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

${(2 u)}^{2} - 4 u + 1^{2} = 0$

ステップ 2.3

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 u = 2 \cdot (2 u) \cdot 1$

ステップ 2.4

多項式を書き換えます。

${(2 u)}^{2} - 2 \cdot (2 u) \cdot 1 + 1^{2} = 0$

ステップ 2.5

$a = 2 u$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(2 u - 1)}^{2} = 0$

ステップ 3

$2 u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 u - 1 = 0$

ステップ 4

$u$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 u = 1$

ステップ 4.2

$2 u = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.1

$2 u = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 4.2.2.1.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{1}{2}$

ステップ 5

$\sin (x)$ を $u$ に代入します。

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

ステップ 6

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

ステップ 7

右辺を簡約します。

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ステップ 7.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{6}$ です。

$x = \frac{π}{6}$

ステップ 8

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - \frac{π}{6}$

ステップ 9

$π - \frac{π}{6}$ を簡約します。

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ステップ 9.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 9.2

分数をまとめます。

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ステップ 9.2.1

$π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 9.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 9.3

分子を簡約します。

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ステップ 9.3.1

$6$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

ステップ 9.3.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{5 π}{6}$

ステップ 10

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 10.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 10.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 10.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 10.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 11

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 12

微分積分学準備 例

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