微分積分学準備例

$x^{4} + 3 x^{3} + 8 x + 24 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x^{4} + 3 x^{3}) + 8 x + 24 = 0$

ステップ 1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x^{3} (x + 3) + 8 (x + 3) = 0$

ステップ 1.2

最大公約数 $x + 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x + 3) (x^{3} + 8) = 0$

ステップ 1.3

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$(x + 3) (x^{3} + 2^{3}) = 0$

ステップ 1.4

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$(x + 3) ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

ステップ 1.5

因数分解。

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ステップ 1.5.1

簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(x + 3) ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})) = 0$

ステップ 1.5.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$(x + 3) ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)) = 0$

ステップ 1.5.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 3) (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 3 = 0$

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

ステップ 3

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 4

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 5

$x^{2} - 2 x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x^{2} - 2 x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5.2.2

$a = 1$ 、 $b = - 2$ 、および $c = 4$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3

簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 4$ を掛けます。

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ステップ 5.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.2.2

$- 4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.3

$4$ から $16$ を引きます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.4

$- 12$ を $- 1 (12)$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (12)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.7

$12$ を $2^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 5.2.3.1.7.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.2.3.3

$\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 6

最終解は $(x + 3) (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 3, - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

ステップ 7

微分積分学準備 例

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