微分積分学準備例

$\frac{x}{8 x^{2} - 10 x + 3}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24$ で和が $b = - 10$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$- 10$ を $- 10 x$ で因数分解します。

$\frac{x}{8 x^{2} - 10 (x) + 3}$

ステップ 1.1.1.2

$- 10$ を $- 4$ プラス $- 6$ に書き換える

$\frac{x}{8 x^{2} + (- 4 - 6) x + 3}$

ステップ 1.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x}{8 x^{2} - 4 x - 6 x + 3}$

ステップ 1.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{x}{(8 x^{2} - 4 x) - 6 x + 3}$

ステップ 1.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{x}{4 x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)}$

ステップ 1.1.3

最大公約数 $2 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{x}{(2 x - 1) (4 x - 3)}$

ステップ 1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{2 x - 1}$

ステップ 1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{4 x - 3}$

ステップ 1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(2 x - 1) (4 x - 3)$ です。

$\frac{x (2 x - 1) (4 x - 3)}{(2 x - 1) (4 x - 3)} = \frac{(A) (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

ステップ 1.5

$2 x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (2 x - 1) (4 x - 3)}{(2 x - 1) (4 x - 3)} = \frac{(A) (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

ステップ 1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{x (4 x - 3)}{4 x - 3} = \frac{(A) (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

ステップ 1.6

$4 x - 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (4 x - 3)}{4 x - 3} = \frac{(A) (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

ステップ 1.6.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{(A) (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

ステップ 1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

$2 x - 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{A (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

ステップ 1.7.1.2

$(A) (4 x - 3)$ を $1$ で割ります。

$x = (A) (4 x - 3) + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

ステップ 1.7.2

分配則を当てはめます。

$x = A (4 x) + A \cdot - 3 + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

ステップ 1.7.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$x = 4 A x + A \cdot - 3 + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

ステップ 1.7.4

$- 3$ を $A$ の左に移動させます。

$x = 4 A x - 3 \cdot A + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

ステップ 1.7.5

$4 x - 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.5.1

共通因数を約分します。

$x = 4 A x - 3 A + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

ステップ 1.7.5.2

$(B) (2 x - 1)$ を $1$ で割ります。

$x = 4 A x - 3 A + (B) (2 x - 1)$

ステップ 1.7.6

分配則を当てはめます。

$x = 4 A x - 3 A + B (2 x) + B \cdot - 1$

ステップ 1.7.7

積の可換性を利用して書き換えます。

$x = 4 A x - 3 A + 2 B x + B \cdot - 1$

ステップ 1.7.8

$- 1$ を $B$ の左に移動させます。

$x = 4 A x - 3 A + 2 B x - 1 \cdot B$

ステップ 1.7.9

$- 1 B$ を $- B$ に書き換えます。

$x = 4 A x - 3 A + 2 B x - B$

ステップ 1.8

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

$A$ を移動させます。

$x = 4 x A - 3 A + 2 B x - B$

ステップ 1.8.2

$B$ を移動させます。

$x = 4 x A - 3 A + 2 x B - B$

ステップ 1.8.3

$- 3 A$ を移動させます。

$x = 4 x A + 2 x B - 3 A - B$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = 4 A + 2 B$

ステップ 2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = - 3 A - 1 B$

ステップ 2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$1 = 4 A + 2 B$

$0 = - 3 A - 1 B$

$1 = 4 A + 2 B$

$0 = - 3 A - 1 B$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$1 = 4 A + 2 B$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

方程式を $4 A + 2 B = 1$ として書き換えます。

$4 A + 2 B = 1$

$0 = - 3 A - 1 B$

ステップ 3.1.2

方程式の両辺から $2 B$ を引きます。

$4 A = 1 - 2 B$

$0 = - 3 A - 1 B$

ステップ 3.1.3

$4 A = 1 - 2 B$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

$4 A = 1 - 2 B$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4} + \frac{- 2 B}{4}$

$0 = - 3 A - 1 B$

ステップ 3.1.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4} + \frac{- 2 B}{4}$

$0 = - 3 A - 1 B$

ステップ 3.1.3.2.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$A = \frac{1}{4} + \frac{- 2 B}{4}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} + \frac{- 2 B}{4}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} + \frac{- 2 B}{4}$

$0 = - 3 A - 1 B$

ステップ 3.1.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.3.1.1

$- 2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.3.1.1.1

$2$ を $- 2 B$ で因数分解します。

$A = \frac{1}{4} + \frac{2 (- B)}{4}$

$0 = - 3 A - 1 B$

ステップ 3.1.3.3.1.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.3.1.1.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$A = \frac{1}{4} + \frac{2 (- B)}{2 (2)}$

$0 = - 3 A - 1 B$

ステップ 3.1.3.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$A = \frac{1}{4} + \frac{2 (- B)}{2 \cdot 2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

ステップ 3.1.3.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$A = \frac{1}{4} + \frac{- B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} + \frac{- B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} + \frac{- B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

ステップ 3.1.3.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

ステップ 3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $\frac{1}{4} - \frac{B}{2}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$0 = - 3 A - 1 B$ の $A$ のすべての発生を $\frac{1}{4} - \frac{B}{2}$ で置き換えます。

$0 = - 3 (\frac{1}{4} - \frac{B}{2}) - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$- 3 (\frac{1}{4} - \frac{B}{2}) - 1 B$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$0 = - 3 (\frac{1}{4}) - 3 (- \frac{B}{2}) - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

ステップ 3.2.2.1.1.2

$- 3$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$0 = \frac{- 3}{4} - 3 (- \frac{B}{2}) - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

ステップ 3.2.2.1.1.3

$- 3 (- \frac{B}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.3.1

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$0 = \frac{- 3}{4} + 3 (\frac{B}{2}) - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

ステップ 3.2.2.1.1.3.2

$3$ と $\frac{B}{2}$ をまとめます。

$0 = \frac{- 3}{4} + \frac{3 B}{2} - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = \frac{- 3}{4} + \frac{3 B}{2} - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

ステップ 3.2.2.1.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B}{2} - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

ステップ 3.2.2.1.1.5

$- 1 B$ を $- B$ に書き換えます。

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B}{2} - B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B}{2} - B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

ステップ 3.2.2.1.2

$- B$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B}{2} - B \cdot \frac{2}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

ステップ 3.2.2.1.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.3.1

$- B$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B}{2} + \frac{- B \cdot 2}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

ステップ 3.2.2.1.3.2

公分母の分子をまとめます。

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B - B \cdot 2}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B - B \cdot 2}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

ステップ 3.2.2.1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.4.1.1

$B$ を $3 B - B \cdot 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.4.1.1.1

$B$ を $3 B$ で因数分解します。

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B \cdot 3 - B \cdot 2}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

ステップ 3.2.2.1.4.1.1.2

$B$ を $- B \cdot 2$ で因数分解します。

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B \cdot 3 + B (- 1 \cdot 2)}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

ステップ 3.2.2.1.4.1.1.3

$B$ を $B \cdot 3 + B (- 1 \cdot 2)$ で因数分解します。

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B (3 - 1 \cdot 2)}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B (3 - 1 \cdot 2)}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

ステップ 3.2.2.1.4.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B (3 - 2)}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

ステップ 3.2.2.1.4.1.3

$3$ から $2$ を引きます。

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B \cdot 1}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B \cdot 1}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

ステップ 3.2.2.1.4.2

$B$ に $1$ をかけます。

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

ステップ 3.3

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B}{2}$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式を $- \frac{3}{4} + \frac{B}{2} = 0$ として書き換えます。

$- \frac{3}{4} + \frac{B}{2} = 0$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺に $\frac{3}{4}$ を足します。

$\frac{B}{2} = \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

ステップ 3.3.3

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 (\frac{B}{2}) = 2 (\frac{3}{4})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

ステップ 3.3.4

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 (\frac{B}{2}) = 2 (\frac{3}{4})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

ステップ 3.3.4.1.1.2

式を書き換えます。

$B = 2 (\frac{3}{4})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$B = 2 (\frac{3}{4})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$B = 2 (\frac{3}{4})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

ステップ 3.3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.4.2.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$B = 2 (\frac{3}{2 (2)})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

ステップ 3.3.4.2.1.2

共通因数を約分します。

$B = 2 (\frac{3}{2 \cdot 2})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

ステップ 3.3.4.2.1.3

式を書き換えます。

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

ステップ 3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $\frac{3}{2}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$ の $B$ のすべての発生を $\frac{3}{2}$ で置き換えます。

$A = \frac{1}{4} - \frac{\frac{3}{2}}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$\frac{1}{4} - \frac{\frac{3}{2}}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$A = \frac{1}{4} - (\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$B = \frac{3}{2}$

ステップ 3.4.2.1.1.2

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1.2.1

$\frac{3}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$A = \frac{1}{4} - \frac{3}{2 \cdot 2}$

$B = \frac{3}{2}$

ステップ 3.4.2.1.1.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$A = \frac{1}{4} - \frac{3}{4}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{3}{4}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{3}{4}$

$B = \frac{3}{2}$

ステップ 3.4.2.1.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.2.1

公分母の分子をまとめます。

$A = \frac{1 - 3}{4}$

$B = \frac{3}{2}$

ステップ 3.4.2.1.2.2

$1$ から $3$ を引きます。

$A = \frac{- 2}{4}$

$B = \frac{3}{2}$

ステップ 3.4.2.1.2.3

$- 2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.2.3.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$A = \frac{2 (- 1)}{4}$

$B = \frac{3}{2}$

ステップ 3.4.2.1.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.2.3.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$A = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

$B = \frac{3}{2}$

ステップ 3.4.2.1.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$A = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

$B = \frac{3}{2}$

ステップ 3.4.2.1.2.3.2.3

式を書き換えます。

$A = \frac{- 1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{- 1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{- 1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

ステップ 3.4.2.1.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

ステップ 3.5

すべての解をまとめます。

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{3}{2}$

ステップ 4

$\frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{4 x - 3}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{- \frac{1}{2}}{2 x - 1} + \frac{\frac{3}{2}}{4 x - 3}$

微分積分学準備 例

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