微分積分学準備例

$- 16 y^{2} - 54 x + 9 x^{2} = 63$

ステップ 1

双曲線の標準形を求めます。

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ステップ 1.1

$- 54 x + 9 x^{2}$ の平方完成。

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ステップ 1.1.1

$- 54 x$ と $9 x^{2}$ を並べ替えます。

$9 x^{2} - 54 x$

ステップ 1.1.2

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 9$

$b = - 54$

$c = 0$

ステップ 1.1.3

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.1.4

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 54}{2 \cdot 9}$

ステップ 1.1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.4.2.1

$- 54$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.4.2.1.1

$2$ を $- 54$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

ステップ 1.1.4.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.4.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 9$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 (9)}$

ステップ 1.1.4.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

ステップ 1.1.4.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 27}{9}$

ステップ 1.1.4.2.2

$- 27$ と $9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.4.2.2.1

$9$ を $- 27$ で因数分解します。

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9}$

ステップ 1.1.4.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.4.2.2.2.1

$9$ を $9$ で因数分解します。

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 (1)}$

ステップ 1.1.4.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 \cdot 1}$

ステップ 1.1.4.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 3}{1}$

ステップ 1.1.4.2.2.2.4

$- 3$ を $1$ で割ります。

$d = - 3$

ステップ 1.1.5

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.5.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 54)}^{2}}{4 \cdot 9}$

ステップ 1.1.5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.5.2.1.1

$- 54$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

ステップ 1.1.5.2.1.2

$4$ に $9$ をかけます。

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

ステップ 1.1.5.2.1.3

$2916$ を $36$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 81$

ステップ 1.1.5.2.1.4

$- 1$ に $81$ をかけます。

$e = 0 - 81$

ステップ 1.1.5.2.2

$0$ から $81$ を引きます。

$e = - 81$

ステップ 1.1.6

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $9 {(x - 3)}^{2} - 81$ に代入します。

$9 {(x - 3)}^{2} - 81$

ステップ 1.2

$9 {(x - 3)}^{2} - 81$ を方程式 $- 16 y^{2} - 54 x + 9 x^{2} = 63$ の中の $- 54 x + 9 x^{2}$ に代入します。

$- 16 y^{2} + 9 {(x - 3)}^{2} - 81 = 63$

ステップ 1.3

両辺に $81$ を加えて、 $- 81$ を方程式の右辺に移動させます。

$- 16 y^{2} + 9 {(x - 3)}^{2} = 63 + 81$

ステップ 1.4

$63$ と $81$ をたし算します。

$- 16 y^{2} + 9 {(x - 3)}^{2} = 144$

ステップ 1.5

各項を $144$ で割り、右辺を1と等しくします。

$- \frac{16 y^{2}}{144} + \frac{9 {(x - 3)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

ステップ 1.6

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の漸近線を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点 $a$ からのy補正値を表します。

$a = 4$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 3$

ステップ 4

この双曲線は左右に開なので、漸近線は $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ の形に従います。

$y = \pm \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$

ステップ 5

簡約し、1番目の漸近線を求めます。

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ステップ 5.1

括弧を削除します。

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$

ステップ 5.2

$\frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$ を簡約します。

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ステップ 5.2.1

式を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$\frac{3}{4} \cdot (x - (3))$ と $0$ をたし算します。

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (3))$

ステップ 5.2.1.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - 3)$

ステップ 5.2.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 3$

ステップ 5.2.3

$\frac{3}{4}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 3$

ステップ 5.2.4

$\frac{3}{4} \cdot - 3$ を掛けます。

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ステップ 5.2.4.1

$\frac{3}{4}$ と $- 3$ をまとめます。

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3 \cdot - 3}{4}$

ステップ 5.2.4.2

$3$ に $- 3$ をかけます。

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 9}{4}$

ステップ 5.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}$

ステップ 6

簡約し、2番目の漸近線を求めます。

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ステップ 6.1

括弧を削除します。

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$

ステップ 6.2

$- \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$ を簡約します。

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ステップ 6.2.1

式を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$- \frac{3}{4} \cdot (x - (3))$ と $0$ をたし算します。

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (3))$

ステップ 6.2.1.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - 3)$

ステップ 6.2.2

分配則を当てはめます。

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot - 3$

ステップ 6.2.3

$x$ と $\frac{3}{4}$ をまとめます。

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot - 3$

ステップ 6.2.4

$- \frac{3}{4} \cdot - 3$ を掛けます。

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ステップ 6.2.4.1

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + 3 (\frac{3}{4})$

ステップ 6.2.4.2

$3$ と $\frac{3}{4}$ をまとめます。

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{3 \cdot 3}{4}$

ステップ 6.2.4.3

$3$ に $3$ をかけます。

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{9}{4}$

ステップ 6.2.5

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$

ステップ 7

この双曲線には2本の漸近線があります。

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}, y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$

ステップ 8

漸近線は $y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}$ と $y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$ です。

漸近線： $y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}, y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$

ステップ 9

微分積分学準備 例

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