微分積分学準備例

$f (x) = \frac{x^{3} - 1}{x^{2} + 3 x - 4}$

ステップ 1

式 $\frac{x^{3} - 1}{x^{2} + 3 x - 4}$ が未定義である場所を求めます。

$x = - 4, x = 1$

ステップ 2

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} + 3 x - 4}$ $\to$ $- \infty$ を左から $x$ $\to$ $- 4$ 、 $\frac{x^{3} - 1}{x^{2} + 3 x - 4}$ $\to$ $\infty$ を右から $x$ $\to$ $- 4$ としているので、 $x = - 4$ は垂直漸近線です。

$x = - 4$

ステップ 3

$n$ が分子の次数、 $m$ が分母の次数である有理関数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ を考えます。

1. $n < m$ のとき、x軸 $y = 0$ は水平漸近線です。

2. $n = m$ のとき、水平漸近線は線 $y = \frac{a}{b}$ です。

3. $n > m$ のとき、水平漸近線はありません（斜めの漸近線があります）。

ステップ 4

$n$ と $m$ を求めます。

$n = 3$

$m = 2$

ステップ 5

$n > m$ なので、水平漸近線はありません。

水平漸近線がありません

ステップ 6

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。

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ステップ 6.1

式を簡約します。

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ステップ 6.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$\frac{x^{3} - 1^{3}}{x^{2} + 3 x - 4}$

ステップ 6.1.1.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}{x^{2} + 3 x - 4}$

ステップ 6.1.1.3

簡約します。

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ステップ 6.1.1.3.1

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}{x^{2} + 3 x - 4}$

ステップ 6.1.1.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + 3 x - 4}$

ステップ 6.1.2

たすき掛けを利用して $x^{2} + 3 x - 4$ を因数分解します。

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ステップ 6.1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 4$ で、その和が $3$ です。

$- 1, 4$

ステップ 6.1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x + 4)}$

ステップ 6.1.3

$x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x + 4)}$

ステップ 6.1.3.2

式を書き換えます。

$\frac{x^{2} + x + 1}{x + 4}$

ステップ 6.2

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$4$

$x^{2}$

$x$

$1$

ステップ 6.3

被除数 $x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x$
	$x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$

ステップ 6.4

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x$
$x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	+	$4 x$

ステップ 6.5

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{2} + 4 x$ の符号をすべて変更します。

				$x$
$x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$4 x$

ステップ 6.6

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x$
$x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$4 x$
					-	$3 x$

ステップ 6.7

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x$
$x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$4 x$
					-	$3 x$	+	$1$

ステップ 6.8

被除数 $- 3 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x$	-	$3$
$x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$4 x$
					-	$3 x$	+	$1$

ステップ 6.9

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x$	-	$3$
$x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$4 x$
					-	$3 x$	+	$1$
					-	$3 x$	-	$12$

ステップ 6.10

式は被除数から引く必要があるので、 $- 3 x - 12$ の符号をすべて変更します。

				$x$	-	$3$
$x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$4 x$
					-	$3 x$	+	$1$
					+	$3 x$	+	$12$

ステップ 6.11

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x$	-	$3$
$x$	+	$4$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$4 x$
					-	$3 x$	+	$1$
					+	$3 x$	+	$12$
							+	$13$

ステップ 6.12

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$x - 3 + \frac{13}{x + 4}$

ステップ 6.13

解を多項式の部分と余りに分割します。

$x - 3 + \frac{13 x - 13}{x^{2} + 3 x - 4}$

ステップ 6.14

斜めの漸近線は、筆算での除算の結果の多項式部分です。

$y = x - 3$

ステップ 7

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線： $x = - 4$

水平漸近線がありません

斜めの漸近線： $y = x - 3$

ステップ 8

微分積分学準備 例

微分積分学準備例