微分積分学準備例

$x^{2} - 4 y^{2} = 1$

ステップ 1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$- 4 y^{2} = 1 - x^{2}$

ステップ 2

$- 4 y^{2} = 1 - x^{2}$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.1

$- 4 y^{2} = 1 - x^{2}$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 y^{2}}{- 4} = \frac{1}{- 4} + \frac{- x^{2}}{- 4}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 y^{2}}{- 4} = \frac{1}{- 4} + \frac{- x^{2}}{- 4}$

ステップ 2.2.1.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{1}{- 4} + \frac{- x^{2}}{- 4}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = - \frac{1}{4} + \frac{- x^{2}}{- 4}$

ステップ 2.3.1.2

2つの負の値を割ると正の値になります。

$y^{2} = - \frac{1}{4} + \frac{x^{2}}{4}$

ステップ 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{4} + \frac{x^{2}}{4}}$

ステップ 4

$\pm \sqrt{- \frac{1}{4} + \frac{x^{2}}{4}}$ を簡約します。

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ステップ 4.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{4} + \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 4.2

$\frac{x^{2}}{2^{2}}$ を ${(\frac{x}{2})}^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{4} + {(\frac{x}{2})}^{2}}$

ステップ 4.3

式を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$\frac{1}{4}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{- {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{x}{2})}^{2}}$

ステップ 4.3.2

$- {(\frac{1}{2})}^{2}$ と ${(\frac{x}{2})}^{2}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

ステップ 4.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \frac{x}{2}$ であり、 $b = \frac{1}{2}$ です。

$y = \pm \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{1}{2}) (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})}$

ステップ 4.5

項を簡約します。

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ステップ 4.5.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 1}{2} (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})}$

ステップ 4.5.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 1}{2} \cdot \frac{x - 1}{2}}$

ステップ 4.5.3

$\frac{x + 1}{2}$ に $\frac{x - 1}{2}$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{2 \cdot 2}}$

ステップ 4.5.4

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{4}}$

ステップ 4.6

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{4}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 1) (x - 1))$ に書き換えます。

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ステップ 4.6.1

$(x + 1) (x - 1)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 1) (x - 1))}{4}}$

ステップ 4.6.2

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 1) (x - 1))}{2^{2} \cdot 1}}$

ステップ 4.6.3

分数 $\frac{1^{2} ((x + 1) (x - 1))}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 1) (x - 1))}$

ステップ 4.7

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 4.8

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$

ステップ 5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$

ステップ 5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$

ステップ 5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$

ステップ 6

$x$ の関数として書き換えるために、方程式を書き、等号の一辺に $y$ が単独であり、もう一辺に $x$ だけを含む式が来るようにします。

$f (x) = \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}, - \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$

微分積分学準備 例

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