微分積分学準備例

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , $[0, 2 π]$

ステップ 1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$2 x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$2 x = \frac{π}{4}$

ステップ 3

$2 x = \frac{π}{4}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1

$2 x = \frac{π}{4}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

ステップ 3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 3.3.2

$\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.3.2.1

$\frac{π}{4}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{π}{4 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.2

$4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{π}{8}$

ステップ 4

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$2 x = 2 π - \frac{π}{4}$

ステップ 5

$x$ について解きます。

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ステップ 5.1

簡約します。

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ステップ 5.1.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$2 x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 5.1.2

$2 π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$2 x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 5.1.3

公分母の分子をまとめます。

$2 x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 5.1.4

$4$ に $2$ をかけます。

$2 x = \frac{8 π - π}{4}$

ステップ 5.1.5

$8 π$ から $π$ を引きます。

$2 x = \frac{7 π}{4}$

ステップ 5.2

$2 x = \frac{7 π}{4}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2 x = \frac{7 π}{4}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

ステップ 5.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.3.2

$\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.2.3.2.1

$\frac{7 π}{4}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{7 π}{4 \cdot 2}$

ステップ 5.2.3.2.2

$4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{7 π}{8}$

ステップ 6

$\cos (2 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

ステップ 6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 6.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 7

$\cos (2 x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

区間 $[0, 2 π]$ 内で値をつくる $n$ の値を求めます。

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ステップ 8.1

$0$ を $n$ に代入して簡約し、解が $[0, 2 π]$ に含まれるか確認します。

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ステップ 8.1.1

$0$ を $n$ に代入します。

$\frac{π}{8} + π (0)$

ステップ 8.1.2

簡約します。

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ステップ 8.1.2.1

$π$ に $0$ をかけます。

$\frac{π}{8} + 0$

ステップ 8.1.2.2

$\frac{π}{8}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{π}{8}$

ステップ 8.1.3

区間 $[0, 2 π]$ は $\frac{π}{8}$ を含みます。

$x = \frac{π}{8}$

ステップ 8.2

$0$ を $n$ に代入して簡約し、解が $[0, 2 π]$ に含まれるか確認します。

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ステップ 8.2.1

$0$ を $n$ に代入します。

$\frac{7 π}{8} + π (0)$

ステップ 8.2.2

簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$π$ に $0$ をかけます。

$\frac{7 π}{8} + 0$

ステップ 8.2.2.2

$\frac{7 π}{8}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{7 π}{8}$

ステップ 8.2.3

区間 $[0, 2 π]$ は $\frac{7 π}{8}$ を含みます。

$x = \frac{π}{8}, \frac{7 π}{8}$

ステップ 8.3

$1$ を $n$ に代入して簡約し、解が $[0, 2 π]$ に含まれるか確認します。

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ステップ 8.3.1

$1$ を $n$ に代入します。

$\frac{π}{8} + π (1)$

ステップ 8.3.2

簡約します。

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ステップ 8.3.2.1

$π$ に $1$ をかけます。

$\frac{π}{8} + π$

ステップ 8.3.2.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$\frac{π}{8} + π \cdot \frac{8}{8}$

ステップ 8.3.2.3

分数をまとめます。

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ステップ 8.3.2.3.1

$π$ と $\frac{8}{8}$ をまとめます。

$\frac{π}{8} + \frac{π \cdot 8}{8}$

ステップ 8.3.2.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π + π \cdot 8}{8}$

ステップ 8.3.2.4

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.2.4.1

$8$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{π + 8 \cdot π}{8}$

ステップ 8.3.2.4.2

$π$ と $8 π$ をたし算します。

$\frac{9 π}{8}$

ステップ 8.3.3

区間 $[0, 2 π]$ は $\frac{9 π}{8}$ を含みます。

$x = \frac{π}{8}, \frac{7 π}{8}, \frac{9 π}{8}$

ステップ 8.4

$1$ を $n$ に代入して簡約し、解が $[0, 2 π]$ に含まれるか確認します。

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ステップ 8.4.1

$1$ を $n$ に代入します。

$\frac{7 π}{8} + π (1)$

ステップ 8.4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1

$π$ に $1$ をかけます。

$\frac{7 π}{8} + π$

ステップ 8.4.2.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$\frac{7 π}{8} + π \cdot \frac{8}{8}$

ステップ 8.4.2.3

分数をまとめます。

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ステップ 8.4.2.3.1

$π$ と $\frac{8}{8}$ をまとめます。

$\frac{7 π}{8} + \frac{π \cdot 8}{8}$

ステップ 8.4.2.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{7 π + π \cdot 8}{8}$

ステップ 8.4.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.4.1

$8$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{7 π + 8 \cdot π}{8}$

ステップ 8.4.2.4.2

$7 π$ と $8 π$ をたし算します。

$\frac{15 π}{8}$

ステップ 8.4.3

区間 $[0, 2 π]$ は $\frac{15 π}{8}$ を含みます。

$x = \frac{π}{8}, \frac{7 π}{8}, \frac{9 π}{8}, \frac{15 π}{8}$

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