微分積分学準備例

$2 x^{4} - x^{3} - 51 x^{2} + 25 x + 25$

ステップ 1

項を再分類します。

$- x^{3} + 25 x + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

ステップ 2

$- x$ を $- x^{3} + 25 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.1

$- x$ を $- x^{3}$ で因数分解します。

$- x (x^{2}) + 25 x + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

ステップ 2.2

$- x$ を $25 x$ で因数分解します。

$- x (x^{2}) - x (- 25) + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

ステップ 2.3

$- x$ を $- x (x^{2}) - x (- 25)$ で因数分解します。

$- x (x^{2} - 25) + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

ステップ 3

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$- x (x^{2} - 5^{2}) + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

ステップ 4

因数分解。

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ステップ 4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 5$ です。

$- x ((x + 5) (x - 5)) + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

ステップ 4.2

不要な括弧を削除します。

$- x (x + 5) (x - 5) + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

ステップ 5

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- x (x + 5) (x - 5) + 2 {(x^{2})}^{2} - 51 x^{2} + 25$

ステップ 6

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$- x (x + 5) (x - 5) + 2 u^{2} - 51 u + 25$

ステップ 7

群による因数分解。

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ステップ 7.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot 25 = 50$ で和が $b = - 51$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 7.1.1

$- 51$ を $- 51 u$ で因数分解します。

$- x (x + 5) (x - 5) + 2 u^{2} - 51 (u) + 25$

ステップ 7.1.2

$- 51$ を $- 1$ プラス $- 50$ に書き換える

$- x (x + 5) (x - 5) + 2 u^{2} + (- 1 - 50) u + 25$

ステップ 7.1.3

分配則を当てはめます。

$- x (x + 5) (x - 5) + 2 u^{2} - 1 u - 50 u + 25$

ステップ 7.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 7.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$- x (x + 5) (x - 5) + (2 u^{2} - 1 u) - 50 u + 25$

ステップ 7.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$- x (x + 5) (x - 5) + u (2 u - 1) - 25 (2 u - 1)$

ステップ 7.3

最大公約数 $2 u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$- x (x + 5) (x - 5) + (2 u - 1) (u - 25)$

ステップ 8

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- x (x + 5) (x - 5) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} - 25)$

ステップ 9

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$- x (x + 5) (x - 5) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} - 5^{2})$

ステップ 10

因数分解。

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ステップ 10.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 5$ です。

$- x (x + 5) (x - 5) + (2 x^{2} - 1) ((x + 5) (x - 5))$

ステップ 10.2

不要な括弧を削除します。

$- x (x + 5) (x - 5) + (2 x^{2} - 1) (x + 5) (x - 5)$

ステップ 11

$(x + 5) (x - 5)$ を $- x (x + 5) (x - 5) + (2 x^{2} - 1) (x + 5) (x - 5)$ で因数分解します。

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ステップ 11.1

$(x + 5) (x - 5)$ を $- x (x + 5) (x - 5)$ で因数分解します。

$(x + 5) (x - 5) (- x) + (2 x^{2} - 1) (x + 5) (x - 5)$

ステップ 11.2

$(x + 5) (x - 5)$ を $(2 x^{2} - 1) (x + 5) (x - 5)$ で因数分解します。

$(x + 5) (x - 5) (- x) + (x + 5) (x - 5) (2 x^{2} - 1)$

ステップ 11.3

$(x + 5) (x - 5)$ を $(x + 5) (x - 5) (- x) + (x + 5) (x - 5) (2 x^{2} - 1)$ で因数分解します。

$(x + 5) (x - 5) (- x + 2 x^{2} - 1)$

ステップ 12

$u = x$ とします。 $u$ を $x$ に代入します。

$(x + 5) (x - 5) (- u + 2 u^{2} - 1)$

ステップ 13

群による因数分解。

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ステップ 13.1

項を並べ替えます。

$(x + 5) (x - 5) (2 u^{2} - u - 1)$

ステップ 13.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ で和が $b = - 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 13.2.1

$- 1$ を $- u$ で因数分解します。

$(x + 5) (x - 5) (2 u^{2} - (u) - 1)$

ステップ 13.2.2

$- 1$ を $1$ プラス $- 2$ に書き換える

$(x + 5) (x - 5) (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1)$

ステップ 13.2.3

分配則を当てはめます。

$(x + 5) (x - 5) (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1)$

ステップ 13.2.4

$u$ に $1$ をかけます。

$(x + 5) (x - 5) (2 u^{2} + u - 2 u - 1)$

ステップ 13.3

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 13.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x + 5) (x - 5) ((2 u^{2} + u) - 2 u - 1)$

ステップ 13.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x + 5) (x - 5) (u (2 u + 1) - (2 u + 1))$

ステップ 13.4

最大公約数 $2 u + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x + 5) (x - 5) ((2 u + 1) (u - 1))$

ステップ 14

因数分解。

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ステップ 14.1

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$(x + 5) (x - 5) ((2 x + 1) (x - 1))$

ステップ 14.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 5) (x - 5) (2 x + 1) (x - 1)$

微分積分学準備 例

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