微分積分学準備例

$\cos (2 x) = - \frac{1}{2}$

ステップ 1

余弦の定義を利用して単位円直角三角形の既知の辺を求めます。象限は、それぞれの値の符号を決定します。

$\cos (2 x) = \frac{隣接}{斜辺}$

ステップ 2

単位円の三角形の対辺を求めます。隣接辺と斜辺が分かっているので、ピタゴラスの定理を利用して残りの辺を求めます。

$反対 = \sqrt{{斜辺}^{2} - {隣接}^{2}}$

ステップ 3

方程式の既知数を置き換えます。

$反対 = \sqrt{{(2)}^{2} - {(- 1)}^{2}}$

ステップ 4

根の内側を簡約します。

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ステップ 4.1

$2$ を $2$ 乗します。

対辺 $= \sqrt{4 - {(- 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1

$- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ をかけます。

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ステップ 4.2.1.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

対辺 $= \sqrt{4 + (- 1) {(- 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

対辺 $= \sqrt{4 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

ステップ 4.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

対辺 $= \sqrt{4 + {(- 1)}^{3}}$

ステップ 4.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

対辺 $= \sqrt{4 - 1}$

ステップ 4.4

$4$ から $1$ を引きます。

対辺 $= \sqrt{3}$

ステップ 5

正弦の値を求めます。

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ステップ 5.1

正弦の定義を利用して $\sin (2 x)$ の値を求めます。

$\sin (2 x) = \frac{opp}{hyp}$

ステップ 5.2

既知数に代入します。

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 6

正切の値を求めます。

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ステップ 6.1

正接の定義を利用して $\tan (2 x)$ の値を求めます。

$\tan (2 x) = \frac{opp}{adj}$

ステップ 6.2

既知数に代入します。

$\tan (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{- 1}$

ステップ 6.3

$\tan (2 x)$ の値を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$\frac{\sqrt{3}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$\tan (2 x) = - 1 \cdot \sqrt{3}$

ステップ 6.3.2

$- 1 \cdot \sqrt{3}$ を $- \sqrt{3}$ に書き換えます。

$\tan (2 x) = - \sqrt{3}$

ステップ 7

余接の値を求めます。

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ステップ 7.1

余接の定義を利用して $\cot (2 x)$ の値を求めます。

$\cot (2 x) = \frac{adj}{opp}$

ステップ 7.2

既知数に代入します。

$\cot (2 x) = \frac{- 1}{\sqrt{3}}$

ステップ 7.3

$\cot (2 x)$ の値を簡約します。

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ステップ 7.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\cot (2 x) = - \frac{1}{\sqrt{3}}$

ステップ 7.3.2

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\cot (2 x) = - (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

ステップ 7.3.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 7.3.3.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\cot (2 x) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 7.3.3.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\cot (2 x) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 7.3.3.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\cot (2 x) = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 7.3.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cot (2 x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 7.3.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cot (2 x) = - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 7.3.3.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 7.3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\cot (2 x) = - \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 7.3.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\cot (2 x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 7.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\cot (2 x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 7.3.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\cot (2 x) = - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 7.3.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\cot (2 x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 7.3.3.6.5

指数を求めます。

$\cot (2 x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 8

正割の値を求めます。

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ステップ 8.1

正割の定義を利用して $\sec (2 x)$ の値を求めます。

$\sec (2 x) = \frac{hyp}{adj}$

ステップ 8.2

既知数に代入します。

$\sec (2 x) = \frac{2}{- 1}$

ステップ 8.3

$2$ を $- 1$ で割ります。

$\sec (2 x) = - 2$

ステップ 9

余割の値を求めます。

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ステップ 9.1

余割の定義を利用して $\csc (2 x)$ の値を求めます。

$\csc (2 x) = \frac{hyp}{opp}$

ステップ 9.2

既知数に代入します。

$\csc (2 x) = \frac{2}{\sqrt{3}}$

ステップ 9.3

$\csc (2 x)$ の値を簡約します。

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ステップ 9.3.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\csc (2 x) = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 9.3.2

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 9.3.2.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\csc (2 x) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 9.3.2.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\csc (2 x) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 9.3.2.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\csc (2 x) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 9.3.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\csc (2 x) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 9.3.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\csc (2 x) = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 9.3.2.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 9.3.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\csc (2 x) = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 9.3.2.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\csc (2 x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 9.3.2.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\csc (2 x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.3.2.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.2.6.4.1

共通因数を約分します。

$\csc (2 x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.3.2.6.4.2

式を書き換えます。

$\csc (2 x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 9.3.2.6.5

指数を求めます。

$\csc (2 x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 10

各三角関数の値の解です。

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (2 x) = - \frac{1}{2}$

$\tan (2 x) = - \sqrt{3}$

$\cot (2 x) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\sec (2 x) = - 2$

$\csc (2 x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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