微分積分学準備例

$\sin (\frac{x}{3}) = \frac{1}{2}$

ステップ 1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$\frac{x}{3} = \arcsin (\frac{1}{2})$

ステップ 2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{6}$ です。

$\frac{x}{3} = \frac{π}{6}$

ステップ 3

方程式の両辺に $3$ を掛けます。

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{6}$

ステップ 4

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 4.1

左辺を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{6}$

ステップ 4.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 3 \frac{π}{6}$

ステップ 4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$x = 3 \frac{π}{3 (2)}$

ステップ 4.2.1.2

共通因数を約分します。

$x = 3 \frac{π}{3 \cdot 2}$

ステップ 4.2.1.3

式を書き換えます。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$\frac{x}{3} = π - \frac{π}{6}$

ステップ 6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の両辺に $3$ を掛けます。

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{6})$

ステップ 6.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{6})$

ステップ 6.2.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 3 (π - \frac{π}{6})$

ステップ 6.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$3 (π - \frac{π}{6})$ を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$x = 3 (π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6})$

ステップ 6.2.2.1.2

項を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1.2.1

$π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$x = 3 (\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6})$

ステップ 6.2.2.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = 3 \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 6.2.2.1.2.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1.2.3.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$x = 3 \frac{π \cdot 6 - π}{3 (2)}$

ステップ 6.2.2.1.2.3.2

共通因数を約分します。

$x = 3 \frac{π \cdot 6 - π}{3 \cdot 2}$

ステップ 6.2.2.1.2.3.3

式を書き換えます。

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{2}$

ステップ 6.2.2.1.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1.3.1

$6$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{6 \cdot π - π}{2}$

ステップ 6.2.2.1.3.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{5 π}{2}$

ステップ 7

$\sin (\frac{x}{3})$ の周期を求めます。

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ステップ 7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 7.2

周期の公式の $b$ を $\frac{1}{3}$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

ステップ 7.3

$\frac{1}{3}$ は約 $0.\overline{3}$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

ステップ 7.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π \cdot 3$

ステップ 7.5

$3$ に $2$ をかけます。

$6 π$

ステップ 8

$\sin (\frac{x}{3})$ 関数の周期が $6 π$ なので、両方向で $6 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 6 π n, \frac{5 π}{2} + 6 π n$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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