微分積分学準備例

$\tan (\frac{x}{2}) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$\frac{x}{2} = \arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

ステップ 2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\arctan (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ の厳密値は $- \frac{π}{6}$ です。

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{6}$

ステップ 3

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{6})$

ステップ 4

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 4.1

左辺を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{6})$

ステップ 4.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 2 (- \frac{π}{6})$

ステップ 4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$2 (- \frac{π}{6})$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1.1

$- \frac{π}{6}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$x = 2 \frac{- π}{6}$

ステップ 4.2.1.1.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$x = 2 \frac{- π}{2 (3)}$

ステップ 4.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$x = 2 \frac{- π}{2 \cdot 3}$

ステップ 4.2.1.1.4

式を書き換えます。

$x = \frac{- π}{3}$

ステップ 4.2.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{π}{3}$

ステップ 5

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{6} - π$

ステップ 6

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 6.1

$2 π$ に $- \frac{π}{6} - π$ をたし算します。

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{6} - π + 2 π$

ステップ 6.2

$\frac{5 π}{6}$ の結果の角度は正で $- \frac{π}{6} - π$ と隣接します。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{6}$

ステップ 6.3

$x$ について解きます。

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ステップ 6.3.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{6}$

ステップ 6.3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{6}$

ステップ 6.3.2.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 2 \frac{5 π}{6}$

ステップ 6.3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$x = 2 \frac{5 π}{2 (3)}$

ステップ 6.3.2.2.1.2

共通因数を約分します。

$x = 2 \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

ステップ 6.3.2.2.1.3

式を書き換えます。

$x = \frac{5 π}{3}$

ステップ 7

$\tan (\frac{x}{2})$ の周期を求めます。

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ステップ 7.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 7.2

周期の公式の $b$ を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

ステップ 7.3

$\frac{1}{2}$ は約 $0.5$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

ステップ 7.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$π \cdot 2$

ステップ 7.5

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$2 π$

ステップ 8

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 8.1

$2 π$ を $- \frac{π}{3}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{3} + 2 π$

ステップ 8.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 8.3

分数をまとめます。

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ステップ 8.3.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 8.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 8.4

分子を簡約します。

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ステップ 8.4.1

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6 π - π}{3}$

ステップ 8.4.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{5 π}{3}$

ステップ 8.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{5 π}{3}$

ステップ 9

$\tan (\frac{x}{2})$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10

答えをまとめます。

$x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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