微分積分学準備例

$\tan (2 x) = - 1$

ステップ 1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$2 x = \arctan (- 1)$

ステップ 2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\arctan (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{4}$ です。

$2 x = - \frac{π}{4}$

ステップ 3

$2 x = - \frac{π}{4}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1

$2 x = - \frac{π}{4}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

ステップ 3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 3.3.2

$- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.3.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{π}{4}$ をかけます。

$x = - \frac{π}{2 \cdot 4}$

ステップ 3.3.2.2

$2$ に $4$ をかけます。

$x = - \frac{π}{8}$

ステップ 4

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$2 x = - \frac{π}{4} - π$

ステップ 5

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 5.1

$2 π$ に $- \frac{π}{4} - π$ をたし算します。

$2 x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

ステップ 5.2

$\frac{3 π}{4}$ の結果の角度は正で $- \frac{π}{4} - π$ と隣接します。

$2 x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 5.3

$2 x = \frac{3 π}{4}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$2 x = \frac{3 π}{4}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

ステップ 5.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{3 π}{4}}{2}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 5.3.3.2

$\frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.3.3.2.1

$\frac{3 π}{4}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{4 \cdot 2}$

ステップ 5.3.3.2.2

$4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{8}$

ステップ 6

$\tan (2 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 6.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 2 |}$

ステップ 6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{π}{2}$

ステップ 7

$\frac{π}{2}$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 7.1

$\frac{π}{2}$ を $- \frac{π}{8}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{8} + \frac{π}{2}$

ステップ 7.2

$\frac{π}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{π}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{8}$

ステップ 7.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $8$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 7.3.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{π \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{π}{8}$

ステップ 7.3.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{π \cdot 4}{8} - \frac{π}{8}$

ステップ 7.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 4 - π}{8}$

ステップ 7.5

分子を簡約します。

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ステップ 7.5.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot π - π}{8}$

ステップ 7.5.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{8}$

ステップ 7.6

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{8}$

ステップ 8

$\tan (2 x)$ 関数の周期が $\frac{π}{2}$ なので、両方向で $\frac{π}{2}$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

答えをまとめます。

$x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例