微分積分学準備例

$\ln (\sqrt{x + 7}) = 2$

ステップ 1

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\sqrt{x + 7})} = e^{2}$

ステップ 2

対数の定義を利用して $\ln (\sqrt{x + 7}) = 2$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{2} = \sqrt{x + 7}$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\sqrt{x + 7} = e^{2}$ として書き換えます。

$\sqrt{x + 7} = e^{2}$

ステップ 3.2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{x + 7}}^{2} = {(e^{2})}^{2}$

ステップ 3.3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 7}$ を ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(e^{2})}^{2}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

${({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1.1

${({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{2})}^{2}$

ステップ 3.3.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{2})}^{2}$

ステップ 3.3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(x + 7)}^{1} = {(e^{2})}^{2}$

ステップ 3.3.2.1.2

簡約します。

$x + 7 = {(e^{2})}^{2}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

${(e^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x + 7 = e^{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x + 7 = e^{4}$

ステップ 3.4

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$x = e^{4} - 7$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = e^{4} - 7$

10進法形式：

$x = 47.59815003 \dots$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例