微分積分学準備例

$\log (x + 8) + \log (x - 1) = 1$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log ((x + 8) (x - 1)) = 1$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 8) (x - 1)$ を展開します。

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ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$\log (x (x - 1) + 8 (x - 1)) = 1$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$\log (x \cdot x + x \cdot - 1 + 8 (x - 1)) = 1$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$\log (x \cdot x + x \cdot - 1 + 8 x + 8 \cdot - 1) = 1$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\log (x^{2} + x \cdot - 1 + 8 x + 8 \cdot - 1) = 1$

ステップ 1.3.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\log (x^{2} - 1 \cdot x + 8 x + 8 \cdot - 1) = 1$

ステップ 1.3.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\log (x^{2} - x + 8 x + 8 \cdot - 1) = 1$

ステップ 1.3.1.4

$8$ に $- 1$ をかけます。

$\log (x^{2} - x + 8 x - 8) = 1$

ステップ 1.3.2

$- x$ と $8 x$ をたし算します。

$\log (x^{2} + 7 x - 8) = 1$

ステップ 2

対数の定義を利用して $\log (x^{2} + 7 x - 8) = 1$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$10^{1} = x^{2} + 7 x - 8$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $x^{2} + 7 x - 8 = 10^{1}$ として書き換えます。

$x^{2} + 7 x - 8 = 10$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $10$ を引きます。

$x^{2} + 7 x - 8 - 10 = 0$

ステップ 3.3

$- 8$ から $10$ を引きます。

$x^{2} + 7 x - 18 = 0$

ステップ 3.4

たすき掛けを利用して $x^{2} + 7 x - 18$ を因数分解します。

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ステップ 3.4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 18$ で、その和が $7$ です。

$- 2, 9$

ステップ 3.4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 2) (x + 9) = 0$

ステップ 3.5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x + 9 = 0$

ステップ 3.6

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.6.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 3.6.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 3.7

$x + 9$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.7.1

$x + 9$ が $0$ に等しいとします。

$x + 9 = 0$

ステップ 3.7.2

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$x = - 9$

ステップ 3.8

最終解は $(x - 2) (x + 9) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, - 9$

ステップ 4

$\log (x + 8) + \log (x - 1) = 1$ が真にならない解を除外します。

$x = 2$

微分積分学準備 例

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