微分積分学準備例

${(\frac{1}{6})}^{3 x + 2} \cdot 216^{3 x} = \frac{1}{216}$

ステップ 1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln ({(\frac{1}{6})}^{3 x + 2} \cdot 216^{3 x}) = \ln (\frac{1}{216})$

ステップ 2

左辺を展開します。

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ステップ 2.1

$\ln ({(\frac{1}{6})}^{3 x + 2} \cdot 216^{3 x})$ を $\ln ({(\frac{1}{6})}^{3 x + 2}) + \ln (216^{3 x})$ に書き換えます。

$\ln ({(\frac{1}{6})}^{3 x + 2}) + \ln (216^{3 x}) = \ln (\frac{1}{216})$

ステップ 2.2

$3 x + 2$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(\frac{1}{6})}^{3 x + 2})$ を展開します。

$(3 x + 2) \ln (\frac{1}{6}) + \ln (216^{3 x}) = \ln (\frac{1}{216})$

ステップ 2.3

$3 x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (216^{3 x})$ を展開します。

$(3 x + 2) \ln (\frac{1}{6}) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

ステップ 2.4

$\ln (\frac{1}{6})$ を $\ln (1) - \ln (6)$ に書き換えます。

$(3 x + 2) (\ln (1) - \ln (6)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

ステップ 2.5

$1$ の自然対数は $0$ です。

$(3 x + 2) (0 - \ln (6)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

ステップ 2.6

$\ln (6)$ を $\ln (2 (3))$ に書き換えます。

$(3 x + 2) (0 - \ln (2 (3))) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

ステップ 2.7

$\ln (2 (3))$ を $\ln (2) + \ln (3)$ に書き換えます。

$(3 x + 2) (0 - (\ln (2) + \ln (3))) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

ステップ 2.8

分配則を当てはめます。

$(3 x + 2) (0 - \ln (2) - \ln (3)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

ステップ 2.9

$0$ から $\ln (2)$ を引きます。

$(3 x + 2) (- \ln (2) - \ln (3)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

ステップ 3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(3 x + 2) (- \ln (2) - \ln (3))$ を展開します。

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ステップ 3.1.1.1

分配則を当てはめます。

$3 x (- \ln (2) - \ln (3)) + 2 (- \ln (2) - \ln (3)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

ステップ 3.1.1.2

分配則を当てはめます。

$3 x (- \ln (2)) + 3 x (- \ln (3)) + 2 (- \ln (2) - \ln (3)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

ステップ 3.1.1.3

分配則を当てはめます。

$3 x (- \ln (2)) + 3 x (- \ln (3)) + 2 (- \ln (2)) + 2 (- \ln (3)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

ステップ 3.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 x \ln (2) + 3 x (- \ln (3)) + 2 (- \ln (2)) + 2 (- \ln (3)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

ステップ 3.1.2.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) + 2 (- \ln (2)) + 2 (- \ln (3)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

ステップ 3.1.2.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) - 2 \ln (2) + 2 (- \ln (3)) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

ステップ 3.1.2.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) - 2 \ln (2) - 2 \ln (3) + 3 x \ln (216) = \ln (\frac{1}{216})$

ステップ 4

左辺を簡約します。

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ステップ 4.1

$- 2 \ln (3)$ を移動させます。

$- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) - 2 \ln (2) + 3 x \ln (216) - 2 \ln (3) = \ln (\frac{1}{216})$

ステップ 4.2

$- 2 \ln (2)$ を移動させます。

$- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) + 3 x \ln (216) - 2 \ln (2) - 2 \ln (3) = \ln (\frac{1}{216})$

ステップ 5

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) + 3 x \ln (216) - 2 \ln (2) - 2 \ln (3) - \ln (\frac{1}{216}) = 0$

ステップ 6

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 6.1

方程式の両辺に $2 \ln (2)$ を足します。

$- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) + 3 x \ln (216) - 2 \ln (3) - \ln (\frac{1}{216}) = 2 \ln (2)$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $2 \ln (3)$ を足します。

$- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) + 3 x \ln (216) - \ln (\frac{1}{216}) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3)$

ステップ 6.3

方程式の両辺に $\ln (\frac{1}{216})$ を足します。

$- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) + 3 x \ln (216) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$

ステップ 7

$3 x$ を $- 3 x \ln (2) - 3 x \ln (3) + 3 x \ln (216)$ で因数分解します。

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ステップ 7.1

$3 x$ を $- 3 x \ln (2)$ で因数分解します。

$3 x (- 1 \ln (2)) - 3 x \ln (3) + 3 x \ln (216) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$

ステップ 7.2

$3 x$ を $- 3 x \ln (3)$ で因数分解します。

$3 x (- 1 \ln (2)) + 3 x (- 1 \ln (3)) + 3 x \ln (216) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$

ステップ 7.3

$3 x$ を $3 x \ln (216)$ で因数分解します。

$3 x (- 1 \ln (2)) + 3 x (- 1 \ln (3)) + 3 x \ln (216) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$

ステップ 7.4

$3 x$ を $3 x (- 1 \ln (2)) + 3 x (- 1 \ln (3))$ で因数分解します。

$3 x (- 1 \ln (2) - 1 \ln (3)) + 3 x \ln (216) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$

ステップ 7.5

$3 x$ を $3 x (- 1 \ln (2) - 1 \ln (3)) + 3 x \ln (216)$ で因数分解します。

$3 x (- 1 \ln (2) - 1 \ln (3) + \ln (216)) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$

ステップ 8

$- 1 \ln (2)$ を $- \ln (2)$ に書き換えます。

$3 x (- \ln (2) - 1 \ln (3) + \ln (216)) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$

ステップ 9

$- 1 \ln (3)$ を $- \ln (3)$ に書き換えます。

$3 x (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216)) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$

ステップ 10

$3 x (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216)) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$ の各項を $3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))$ で割り、簡約します。

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ステップ 10.1

$3 x (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216)) = 2 \ln (2) + 2 \ln (3) + \ln (\frac{1}{216})$ の各項を $3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))$ で割ります。

$\frac{3 x (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))} = \frac{2 \ln (2)}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))} + \frac{2 \ln (3)}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))} + \frac{\ln (\frac{1}{216})}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))}$

ステップ 10.2

左辺を簡約します。

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ステップ 10.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.1.1

共通因数を約分します。

ステップ 10.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))}{- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216)} = \frac{2 \ln (2)}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))} + \frac{2 \ln (3)}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))} + \frac{\ln (\frac{1}{216})}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))}$

ステップ 10.2.2

$- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.2.1

共通因数を約分します。

ステップ 10.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{2 \ln (2)}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))} + \frac{2 \ln (3)}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))} + \frac{\ln (\frac{1}{216})}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))}$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{2 \ln (2)}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))} + \frac{2 \ln (3)}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))} + \frac{\ln (\frac{1}{216})}{3 (- \ln (2) - \ln (3) + \ln (216))}$

10進法形式：

$x = - 0.1\overline{6}$

微分積分学準備 例

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