微分積分学準備例

$81 y^{4} + 1 = 18 y^{2}$

ステップ 1

方程式の両辺から $18 y^{2}$ を引きます。

$81 y^{4} + 1 - 18 y^{2} = 0$

ステップ 2

$u = y^{2}$ を方程式に代入します。これにより二次方程式の解の公式を利用しやすくします。

$81 u^{2} - 18 u + 1 = 0$

$u = y^{2}$

ステップ 3

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.1

$81 u^{2}$ を ${(9 u)}^{2}$ に書き換えます。

${(9 u)}^{2} - 18 u + 1 = 0$

ステップ 3.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

${(9 u)}^{2} - 18 u + 1^{2} = 0$

ステップ 3.3

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$18 u = 2 \cdot (9 u) \cdot 1$

ステップ 3.4

多項式を書き換えます。

${(9 u)}^{2} - 2 \cdot (9 u) \cdot 1 + 1^{2} = 0$

ステップ 3.5

$a = 9 u$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(9 u - 1)}^{2} = 0$

ステップ 4

$9 u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$9 u - 1 = 0$

ステップ 5

$u$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$9 u = 1$

ステップ 5.2

$9 u = 1$ の各項を $9$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$9 u = 1$ の各項を $9$ で割ります。

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

ステップ 5.2.2.1.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{1}{9}$

ステップ 6

$u = y^{2}$ の実数を解いた方程式に代入して戻します。

$y^{2} = \frac{1}{9}$

ステップ 7

$y$ について方程式を解きます。

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ステップ 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}$

ステップ 7.2

$\pm \sqrt{\frac{1}{9}}$ を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\sqrt{\frac{1}{9}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

ステップ 7.2.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{9}}$

ステップ 7.2.3

分母を簡約します。

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ステップ 7.2.3.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

ステップ 7.2.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{1}{3}$

ステップ 7.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 7.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{1}{3}$

ステップ 7.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{1}{3}$

ステップ 7.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$y = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

10進法形式：

$y = 0.\overline{3}, - 0.\overline{3}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例