微分積分学準備例

$x^{4} - 3 x^{3} = 81 + 18 x - 5 x^{3}$

ステップ 1

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $18 x$ を引きます。

$x^{4} - 3 x^{3} - 18 x = 81 - 5 x^{3}$

ステップ 1.2

方程式の両辺に $5 x^{3}$ を足します。

$x^{4} - 3 x^{3} - 18 x + 5 x^{3} = 81$

ステップ 1.3

$- 3 x^{3}$ と $5 x^{3}$ をたし算します。

$x^{4} + 2 x^{3} - 18 x = 81$

ステップ 2

方程式の両辺から $81$ を引きます。

$x^{4} + 2 x^{3} - 18 x - 81 = 0$

ステップ 3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.1

項を再分類します。

$x^{4} - 81 + 2 x^{3} - 18 x = 0$

ステップ 3.2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

${(x^{2})}^{2} - 81 + 2 x^{3} - 18 x = 0$

ステップ 3.3

$81$ を $9^{2}$ に書き換えます。

${(x^{2})}^{2} - 9^{2} + 2 x^{3} - 18 x = 0$

ステップ 3.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{2}$ であり、 $b = 9$ です。

$(x^{2} + 9) (x^{2} - 9) + 2 x^{3} - 18 x = 0$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$(x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2}) + 2 x^{3} - 18 x = 0$

ステップ 3.5.2

因数分解。

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ステップ 3.5.2.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$(x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3)) + 2 x^{3} - 18 x = 0$

ステップ 3.5.2.2

不要な括弧を削除します。

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x^{3} - 18 x = 0$

ステップ 3.6

$2 x$ を $2 x^{3} - 18 x$ で因数分解します。

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ステップ 3.6.1

$2 x$ を $2 x^{3}$ で因数分解します。

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x^{2}) - 18 x = 0$

ステップ 3.6.2

$2 x$ を $- 18 x$ で因数分解します。

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x^{2}) + 2 x (- 9) = 0$

ステップ 3.6.3

$2 x$ を $2 x (x^{2}) + 2 x (- 9)$ で因数分解します。

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x^{2} - 9) = 0$

ステップ 3.7

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

ステップ 3.8

因数分解。

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ステップ 3.8.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

ステップ 3.8.2

不要な括弧を削除します。

$(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x + 3) (x - 3) = 0$

ステップ 3.9

$(x + 3) (x - 3)$ を $(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) + 2 x (x + 3) (x - 3)$ で因数分解します。

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ステップ 3.9.1

$(x + 3) (x - 3)$ を $(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)$ で因数分解します。

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 9) + 2 x (x + 3) (x - 3) = 0$

ステップ 3.9.2

$(x + 3) (x - 3)$ を $2 x (x + 3) (x - 3)$ で因数分解します。

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 9) + (x + 3) (x - 3) (2 x) = 0$

ステップ 3.9.3

$(x + 3) (x - 3)$ を $(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 9) + (x + 3) (x - 3) (2 x)$ で因数分解します。

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 9 + 2 x) = 0$

ステップ 3.10

項を並べ替えます。

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 2 x + 9) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 2 x + 9 = 0$

ステップ 5

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 6

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 7

$x^{2} + 2 x + 9$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

$x^{2} + 2 x + 9$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 2 x + 9 = 0$

ステップ 7.2

$x$ について $x^{2} + 2 x + 9 = 0$ を解きます。

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ステップ 7.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 7.2.2

$a = 1$ 、 $b = 2$ 、および $c = 9$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.3

簡約します。

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ステップ 7.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.2.3.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 9$ を掛けます。

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ステップ 7.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.3.1.2.2

$- 4$ に $9$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 36}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.3.1.3

$4$ から $36$ を引きます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.3.1.4

$- 32$ を $- 1 (32)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (32)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.3.1.7

$32$ を $4^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 7.2.3.1.7.1

$16$ を $32$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.3.1.7.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.3.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$

ステップ 7.2.3.3

$\frac{- 2 \pm 4 i \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm 2 i \sqrt{2}$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - 1 + 2 i \sqrt{2}, - 1 - 2 i \sqrt{2}$

ステップ 8

最終解は $(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 2 x + 9) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 3, 3, - 1 + 2 i \sqrt{2}, - 1 - 2 i \sqrt{2}$

微分積分学準備 例

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