微分積分学準備例

$\csc (u) - \cot (u) = \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1

正弦と余弦に関して $\csc (u)$ を書き換えます。

$\frac{1}{\sin (u)} - \cot (u) = \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

ステップ 1.1.2

正弦と余弦に関して $\cot (u)$ を書き換えます。

$\frac{1}{\sin (u)} - \frac{\cos (u)}{\sin (u)} = \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

ステップ 2

方程式の両辺に $\sin (u)$ を掛けます。

$\sin (u) (\frac{1}{\sin (u)} - \frac{\cos (u)}{\sin (u)}) = \sin (u) \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

ステップ 3

分配則を当てはめます。

$\sin (u) \frac{1}{\sin (u)} + \sin (u) (- \frac{\cos (u)}{\sin (u)}) = \sin (u) \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

ステップ 4

$\sin (u)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1

共通因数を約分します。

$\sin (u) \frac{1}{\sin (u)} + \sin (u) (- \frac{\cos (u)}{\sin (u)}) = \sin (u) \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

ステップ 4.2

式を書き換えます。

$1 + \sin (u) (- \frac{\cos (u)}{\sin (u)}) = \sin (u) \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

ステップ 5

積の可換性を利用して書き換えます。

$1 - \sin (u) \frac{\cos (u)}{\sin (u)} = \sin (u) \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

ステップ 6

$\sin (u)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1

$\sin (u)$ を $- \sin (u)$ で因数分解します。

$1 + \sin (u) \cdot - 1 \frac{\cos (u)}{\sin (u)} = \sin (u) \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

ステップ 6.2

共通因数を約分します。

$1 + \sin (u) \cdot - 1 \frac{\cos (u)}{\sin (u)} = \sin (u) \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

ステップ 6.3

式を書き換えます。

$1 - \cos (u) = \sin (u) \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

ステップ 7

$\sin (u) \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$ を掛けます。

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ステップ 7.1

$\sin (u)$ と $\frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$ をまとめます。

$1 - \cos (u) = \frac{\sin (u) \sin (u)}{1 + \cos (u)}$

ステップ 7.2

$\sin (u)$ を $1$ 乗します。

$1 - \cos (u) = \frac{\sin^{1} (u) \sin (u)}{1 + \cos (u)}$

ステップ 7.3

$\sin (u)$ を $1$ 乗します。

$1 - \cos (u) = \frac{\sin^{1} (u) \sin^{1} (u)}{1 + \cos (u)}$

ステップ 7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 - \cos (u) = \frac{{\sin (u)}^{1 + 1}}{1 + \cos (u)}$

ステップ 7.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$1 - \cos (u) = \frac{\sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)}$

ステップ 8

方程式の両辺から $\frac{\sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)}$ を引きます。

$1 - \cos (u) - \frac{\sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)} = 0$

ステップ 9

$1 - \cos (u) - \frac{\sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)}$ を簡約します。

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ステップ 9.1

$- \cos (u)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + \cos (u)}{1 + \cos (u)}$ を掛けます。

$1 - \cos (u) \cdot \frac{1 + \cos (u)}{1 + \cos (u)} - \frac{\sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)} = 0$

ステップ 9.2

$- \cos (u)$ と $\frac{1 + \cos (u)}{1 + \cos (u)}$ をまとめます。

$1 + \frac{- \cos (u) (1 + \cos (u))}{1 + \cos (u)} - \frac{\sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)} = 0$

ステップ 9.3

公分母の分子をまとめます。

$1 + \frac{- \cos (u) (1 + \cos (u)) - \sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)} = 0$

ステップ 9.4

各項を簡約します。

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ステップ 9.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.4.1.1

分配則を当てはめます。

$1 + \frac{- \cos (u) \cdot 1 - \cos (u) \cos (u) - \sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)} = 0$

ステップ 9.4.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$1 + \frac{- \cos (u) - \cos (u) \cos (u) - \sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)} = 0$

ステップ 9.4.1.3

$- \cos (u) \cos (u)$ を掛けます。

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ステップ 9.4.1.3.1

$\cos (u)$ を $1$ 乗します。

$1 + \frac{- \cos (u) - (\cos^{1} (u) \cos (u)) - \sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)} = 0$

ステップ 9.4.1.3.2

$\cos (u)$ を $1$ 乗します。

$1 + \frac{- \cos (u) - (\cos^{1} (u) \cos^{1} (u)) - \sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)} = 0$

ステップ 9.4.1.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 + \frac{- \cos (u) - {\cos (u)}^{1 + 1} - \sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)} = 0$

ステップ 9.4.1.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$1 + \frac{- \cos (u) - \cos^{2} (u) - \sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)} = 0$

ステップ 9.4.1.4

$- 1$ を $- \cos^{2} (u)$ で因数分解します。

$1 + \frac{- \cos (u) - (\cos^{2} (u)) - \sin^{2} (u)}{1 + \cos (u)} = 0$

ステップ 9.4.1.5

$- 1$ を $- \sin^{2} (u)$ で因数分解します。

$1 + \frac{- \cos (u) - (\cos^{2} (u)) - (\sin^{2} (u))}{1 + \cos (u)} = 0$

ステップ 9.4.1.6

$- 1$ を $- (\cos^{2} (u)) - (\sin^{2} (u))$ で因数分解します。

$1 + \frac{- \cos (u) - (\cos^{2} (u) + \sin^{2} (u))}{1 + \cos (u)} = 0$

ステップ 9.4.1.7

項を並べ替えます。

$1 + \frac{- \cos (u) - (\sin^{2} (u) + \cos^{2} (u))}{1 + \cos (u)} = 0$

ステップ 9.4.1.8

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$1 + \frac{- \cos (u) - 1 \cdot 1}{1 + \cos (u)} = 0$

ステップ 9.4.1.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$1 + \frac{- \cos (u) - 1}{1 + \cos (u)} = 0$

ステップ 9.4.1.10

$- 1$ を $- \cos (u) - 1$ で因数分解します。

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ステップ 9.4.1.10.1

$- 1$ を $- \cos (u)$ で因数分解します。

$1 + \frac{- (\cos (u)) - 1}{1 + \cos (u)} = 0$

ステップ 9.4.1.10.2

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$1 + \frac{- (\cos (u)) - 1 (1)}{1 + \cos (u)} = 0$

ステップ 9.4.1.10.3

$- 1$ を $- (\cos (u)) - 1 (1)$ で因数分解します。

$1 + \frac{- (\cos (u) + 1)}{1 + \cos (u)} = 0$

ステップ 9.4.2

$\cos (u) + 1$ と $1 + \cos (u)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.4.2.1

項を並べ替えます。

$1 + \frac{- (1 + \cos (u))}{1 + \cos (u)} = 0$

ステップ 9.4.2.2

共通因数を約分します。

$1 + \frac{- (1 + \cos (u))}{1 + \cos (u)} = 0$

ステップ 9.4.2.3

$- 1$ を $1$ で割ります。

$1 - 1 = 0$

ステップ 9.5

$1$ から $1$ を引きます。

$0 = 0$

ステップ 10

$0 = 0$ なので、方程式は $u$ の値について常に真になります。

すべての実数

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

すべての実数

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

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