微分積分学準備例

$\frac{3^{x} - 3^{- x}}{4} = 5$

ステップ 1

両辺に $4$ を掛けます。

$\frac{3^{x} - 3^{- x}}{4} \cdot 4 = 5 \cdot 4$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 2.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3^{x} - 3^{- x}}{4} \cdot 4 = 5 \cdot 4$

ステップ 2.1.1.2

式を書き換えます。

$3^{x} - 3^{- x} = 5 \cdot 4$

ステップ 2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$5$ に $4$ をかけます。

$3^{x} - 3^{- x} = 20$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

$3^{- x}$ を累乗法として書き換えます。

$3^{x} - {(3^{x})}^{- 1} = 20$

ステップ 3.2

$u$ を $3^{x}$ に代入します。

$u - u^{- 1} = 20$

ステップ 3.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$u - \frac{1}{u} = 20$

ステップ 3.4

$u$ について解きます。

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ステップ 3.4.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 3.4.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, u, 1$

ステップ 3.4.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$u$

ステップ 3.4.2

$u - \frac{1}{u} = 20$ の各項に $u$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.4.2.1

$u - \frac{1}{u} = 20$ の各項に $u$ を掛けます。

$u \cdot u - \frac{1}{u} u = 20 u$

ステップ 3.4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.1.1

$u$ に $u$ をかけます。

$u^{2} - \frac{1}{u} u = 20 u$

ステップ 3.4.2.2.1.2

$u$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.2.1.2.1

$- \frac{1}{u}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 20 u$

ステップ 3.4.2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 20 u$

ステップ 3.4.2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$u^{2} - 1 = 20 u$

ステップ 3.4.3

方程式を解きます。

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ステップ 3.4.3.1

方程式の両辺から $20 u$ を引きます。

$u^{2} - 1 - 20 u = 0$

ステップ 3.4.3.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.4.3.3

$a = 1$ 、 $b = - 20$ 、および $c = - 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.3.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.3.4.1.1

$- 20$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.3.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 3.4.3.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.3.4.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$u = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.3.4.1.3

$400$ と $4$ をたし算します。

$u = \frac{20 \pm \sqrt{404}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.3.4.1.4

$404$ を $2^{2} \cdot 101$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.3.4.1.4.1

$4$ を $404$ で因数分解します。

$u = \frac{20 \pm \sqrt{4 (101)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.3.4.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$u = \frac{20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 101}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.3.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$u = \frac{20 \pm 2 \sqrt{101}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.4.3.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{20 \pm 2 \sqrt{101}}{2}$

ステップ 3.4.3.4.3

$\frac{20 \pm 2 \sqrt{101}}{2}$ を簡約します。

$u = 10 \pm \sqrt{101}$

ステップ 3.4.3.5

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = 10 + \sqrt{101}, 10 - \sqrt{101}$

ステップ 3.5

$10 + \sqrt{101}$ を $u = 3^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$10 + \sqrt{101} = 3^{x}$

ステップ 3.6

$10 + \sqrt{101} = 3^{x}$ を解きます。

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ステップ 3.6.1

方程式を $3^{x} = 10 + \sqrt{101}$ として書き換えます。

$3^{x} = 10 + \sqrt{101}$

ステップ 3.6.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (3^{x}) = \ln (10 + \sqrt{101})$

ステップ 3.6.3

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (3^{x})$ を展開します。

$x \ln (3) = \ln (10 + \sqrt{101})$

ステップ 3.6.4

$x \ln (3) = \ln (10 + \sqrt{101})$ の各項を $\ln (3)$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.6.4.1

$x \ln (3) = \ln (10 + \sqrt{101})$ の各項を $\ln (3)$ で割ります。

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (10 + \sqrt{101})}{\ln (3)}$

ステップ 3.6.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.6.4.2.1

$\ln (3)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (10 + \sqrt{101})}{\ln (3)}$

ステップ 3.6.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\ln (10 + \sqrt{101})}{\ln (3)}$

ステップ 3.7

$10 - \sqrt{101}$ を $u = 3^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$10 - \sqrt{101} = 3^{x}$

ステップ 3.8

$10 - \sqrt{101} = 3^{x}$ を解きます。

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ステップ 3.8.1

方程式を $3^{x} = 10 - \sqrt{101}$ として書き換えます。

$3^{x} = 10 - \sqrt{101}$

ステップ 3.8.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (3^{x}) = \ln (10 - \sqrt{101})$

ステップ 3.8.3

$\ln (10 - \sqrt{101})$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 3.8.4

$3^{x} = 10 - \sqrt{101}$ の解はありません

解がありません

ステップ 3.9

方程式が真になるような解をリストします。

$x = \frac{\ln (10 + \sqrt{101})}{\ln (3)}$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{\ln (10 + \sqrt{101})}{\ln (3)}$

10進法形式：

$x = 2.72910013 \dots$

微分積分学準備 例

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