微分積分学準備例

$\sin (2 x) + 1 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\sin (2 x) = - 1$

ステップ 2

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$2 x = \arcsin (- 1)$

ステップ 3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$\arcsin (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{2}$ です。

$2 x = - \frac{π}{2}$

ステップ 4

$2 x = - \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1

$2 x = - \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

ステップ 4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 4.3.2

$- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{π}{2}$ をかけます。

$x = - \frac{π}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = - \frac{π}{4}$

ステップ 5

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$2 x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

ステップ 6

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 6.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ から $2 π$ を引きます。

$2 x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

ステップ 6.2

$\frac{3 π}{2}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{2} + π$ と隣接します。

$2 x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 6.3

$2 x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.3.1

$2 x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

ステップ 6.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 6.3.3.2

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.3.3.2.1

$\frac{3 π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.3.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 7

$\sin (2 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 7.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

ステップ 7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 7.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 8

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 8.1

$π$ を $- \frac{π}{4}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{4} + π$

ステップ 8.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 8.3

分数をまとめます。

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ステップ 8.3.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 8.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 8.4

分子を簡約します。

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ステップ 8.4.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

ステップ 8.4.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{4}$

ステップ 8.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 9

$\sin (2 x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10

答えをまとめます。

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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