微分積分学準備例

$2 \cos (2 x) + 1 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 \cos (2 x) = - 1$

ステップ 2

$2 \cos (2 x) = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.1

$2 \cos (2 x) = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.2.1.2

$\cos (2 x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (2 x) = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\cos (2 x) = - \frac{1}{2}$

ステップ 3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$2 x = \arccos (- \frac{1}{2})$

ステップ 4

右辺を簡約します。

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ステップ 4.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{2 π}{3}$ です。

$2 x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 5

$2 x = \frac{2 π}{3}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$2 x = \frac{2 π}{3}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

ステップ 5.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 5.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 5.3.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 5.3.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{π}{3}$

ステップ 6

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$2 x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

ステップ 7

$x$ について解きます。

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ステップ 7.1

簡約します。

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ステップ 7.1.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$2 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

ステップ 7.1.2

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$2 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

ステップ 7.1.3

公分母の分子をまとめます。

$2 x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

ステップ 7.1.4

$3$ に $2$ をかけます。

$2 x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

ステップ 7.1.5

$6 π$ から $2 π$ を引きます。

$2 x = \frac{4 π}{3}$

ステップ 7.2

$2 x = \frac{4 π}{3}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.2.1

$2 x = \frac{4 π}{3}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

ステップ 7.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

ステップ 7.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

ステップ 7.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 7.2.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.3.2.1

$2$ を $4 π$ で因数分解します。

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 7.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 7.2.3.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 8

$\cos (2 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 8.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 8.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

ステップ 8.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 8.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 8.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 9

$\cos (2 x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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