微分積分学準備例

$2 \sin^{2} (x) - 7 \sin (x) - 4 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$u = \sin (x)$ とします。 $u$ を $\sin (x)$ に代入します。

$2 u^{2} - 7 u - 4 = 0$

ステップ 1.2

群による因数分解。

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ステップ 1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 4 = - 8$ で和が $b = - 7$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.2.1.1

$- 7$ を $- 7 u$ で因数分解します。

$2 u^{2} - 7 u - 4 = 0$

ステップ 1.2.1.2

$- 7$ を $1$ プラス $- 8$ に書き換える

$2 u^{2} + (1 - 8) u - 4 = 0$

ステップ 1.2.1.3

分配則を当てはめます。

$2 u^{2} + 1 u - 8 u - 4 = 0$

ステップ 1.2.1.4

$u$ に $1$ をかけます。

$2 u^{2} + u - 8 u - 4 = 0$

ステップ 1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(2 u^{2} + u) - 8 u - 4 = 0$

ステップ 1.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$u (2 u + 1) - 4 (2 u + 1) = 0$

ステップ 1.2.3

最大公約数 $2 u + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 u + 1) (u - 4) = 0$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$(2 \sin (x) + 1) (\sin (x) - 4) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) - 4 = 0$

ステップ 3

$2 \sin (x) + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$2 \sin (x) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 \sin (x) + 1 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $2 \sin (x) + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 \sin (x) = - 1$

ステップ 3.2.2

$2 \sin (x) = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 \sin (x) = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.2.2.2.1.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

ステップ 3.2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

ステップ 3.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ の厳密値は $- \frac{π}{6}$ です。

$x = - \frac{π}{6}$

ステップ 3.2.5

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

ステップ 3.2.6

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 3.2.6.1

$2 π + \frac{π}{6} + π$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

ステップ 3.2.6.2

$\frac{7 π}{6}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{6} + π$ と隣接します。

$x = \frac{7 π}{6}$

ステップ 3.2.7

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.2.8

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 3.2.8.1

$2 π$ を $- \frac{π}{6}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{6} + 2 π$

ステップ 3.2.8.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 3.2.8.3

分数をまとめます。

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ステップ 3.2.8.3.1

$2 π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 3.2.8.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 3.2.8.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.2.8.4.1

$6$ に $2$ をかけます。

$\frac{12 π - π}{6}$

ステップ 3.2.8.4.2

$12 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{11 π}{6}$

ステップ 3.2.8.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{11 π}{6}$

ステップ 3.2.9

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

$\sin (x) - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$\sin (x) - 4$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (x) - 4 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $\sin (x) - 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$\sin (x) = 4$

ステップ 4.2.2

正弦の値域は $- 1 \leq y \leq 1$ です。 $4$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 5

最終解は $(2 \sin (x) + 1) (\sin (x) - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

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