微分積分学準備例

$2 \log_{4} (x + 4) - \log_{4} (x + 12) = 1$

ステップ 1

対数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

$2 \log_{4} (x + 4) - \log_{4} (x + 12) = 1$

ステップ 2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$2 \log_{4} (x + 4) - \log_{4} (x + 12)$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

対数の中の $2$ を移動させて $2 \log_{4} (x + 4)$ を簡約します。

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) - \log_{4} (x + 12) = 1$

ステップ 2.1.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log_{4} (\frac{{(x + 4)}^{2}}{x + 12}) = 1$

ステップ 3

対数の定義を利用して $\log_{4} (\frac{{(x + 4)}^{2}}{x + 12}) = 1$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で、 $b$ $\neq$ $1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$4^{1} = \frac{{(x + 4)}^{2}}{x + 12}$

ステップ 4

分数を削除するためにたすき掛けします。

${(x + 4)}^{2} = 4 (x + 12)$

ステップ 5

$4 (x + 12)$ を簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

${(x + 4)}^{2} = 4 x + 4 \cdot 12$

ステップ 5.2

$4$ に $12$ をかけます。

${(x + 4)}^{2} = 4 x + 48$

ステップ 6

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 6.1

方程式の両辺から $4 x$ を引きます。

${(x + 4)}^{2} - 4 x = 48$

ステップ 6.2

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1

${(x + 4)}^{2}$ を $(x + 4) (x + 4)$ に書き換えます。

$(x + 4) (x + 4) - 4 x = 48$

ステップ 6.2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 4) (x + 4)$ を展開します。

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ステップ 6.2.2.1

分配則を当てはめます。

$x (x + 4) + 4 (x + 4) - 4 x = 48$

ステップ 6.2.2.2

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4) - 4 x = 48$

ステップ 6.2.2.3

分配則を当てはめます。

$x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4 - 4 x = 48$

ステップ 6.2.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 6.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4 - 4 x = 48$

ステップ 6.2.3.1.2

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4 - 4 x = 48$

ステップ 6.2.3.1.3

$4$ に $4$ をかけます。

$x^{2} + 4 x + 4 x + 16 - 4 x = 48$

ステップ 6.2.3.2

$4 x$ と $4 x$ をたし算します。

$x^{2} + 8 x + 16 - 4 x = 48$

ステップ 6.3

$8 x$ から $4 x$ を引きます。

$x^{2} + 4 x + 16 = 48$

ステップ 7

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 7.1

方程式の両辺から $16$ を引きます。

$x^{2} + 4 x = 48 - 16$

ステップ 7.2

$48$ から $16$ を引きます。

$x^{2} + 4 x = 32$

ステップ 8

方程式の両辺から $32$ を引きます。

$x^{2} + 4 x - 32 = 0$

ステップ 9

たすき掛けを利用して $x^{2} + 4 x - 32$ を因数分解します。

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ステップ 9.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 32$ で、その和が $4$ です。

$- 4, 8$

ステップ 9.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 4) (x + 8) = 0$

ステップ 10

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 4 = 0$

$x + 8 = 0$

ステップ 11

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 11.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 11.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 12

$x + 8$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 12.1

$x + 8$ が $0$ に等しいとします。

$x + 8 = 0$

ステップ 12.2

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$x = - 8$

ステップ 13

最終解は $(x - 4) (x + 8) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4, - 8$

ステップ 14

$2 \log_{4} (x + 4) - \log_{4} (x + 12) = 1$ が真にならない解を除外します。

$x = 4$

微分積分学準備 例

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