微分積分学準備例

$2 e^{2 x} + 5 e^{x} - 3 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$e^{2 x}$ を ${(e^{x})}^{2}$ に書き換えます。

$2 {(e^{x})}^{2} + 5 e^{x} - 3 = 0$

ステップ 1.2

$u = e^{x}$ とします。 $u$ を $e^{x}$ に代入します。

$2 u^{2} + 5 u - 3 = 0$

ステップ 1.3

群による因数分解。

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ステップ 1.3.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ で和が $b = 5$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.3.1.1

$5$ を $5 u$ で因数分解します。

$2 u^{2} + 5 (u) - 3 = 0$

ステップ 1.3.1.2

$5$ を $- 1$ プラス $6$ に書き換える

$2 u^{2} + (- 1 + 6) u - 3 = 0$

ステップ 1.3.1.3

分配則を当てはめます。

$2 u^{2} - 1 u + 6 u - 3 = 0$

ステップ 1.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(2 u^{2} - 1 u) + 6 u - 3 = 0$

ステップ 1.3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$u (2 u - 1) + 3 (2 u - 1) = 0$

ステップ 1.3.3

最大公約数 $2 u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 u - 1) (u + 3) = 0$

ステップ 1.4

$u$ のすべての発生を $e^{x}$ で置き換えます。

$(2 e^{x} - 1) (e^{x} + 3) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 e^{x} - 1 = 0$

$e^{x} + 3 = 0$

ステップ 3

$2 e^{x} - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$2 e^{x} - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 e^{x} - 1 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $2 e^{x} - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 e^{x} = 1$

ステップ 3.2.2

$2 e^{x} = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 e^{x} = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 3.2.2.2.1.2

$e^{x}$ を $1$ で割ります。

$e^{x} = \frac{1}{2}$

ステップ 3.2.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1}{2})$

ステップ 3.2.4

左辺を展開します。

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ステップ 3.2.4.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (\frac{1}{2})$

ステップ 3.2.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{2})$

ステップ 3.2.4.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (\frac{1}{2})$

ステップ 4

$e^{x} + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$e^{x} + 3$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} + 3 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $e^{x} + 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$e^{x} = - 3$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (- 3)$

ステップ 4.2.3

$\ln (- 3)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 4.2.4

$e^{x} = - 3$ の解はありません

解がありません

ステップ 5

最終解は $(2 e^{x} - 1) (e^{x} + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \ln (\frac{1}{2})$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \ln (\frac{1}{2})$

10進法形式：

$x = - 0.69314718 \dots$

微分積分学準備 例

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