微分積分学準備例

$3 x^{\frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{1}{4}} - 2 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を ${(x^{\frac{1}{4}})}^{2}$ に書き換えます。

$3 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} + 5 x^{\frac{1}{4}} - 2 = 0$

ステップ 1.2

$u = x^{\frac{1}{4}}$ とします。 $u$ を $x^{\frac{1}{4}}$ に代入します。

$3 u^{2} + 5 u - 2 = 0$

ステップ 1.3

群による因数分解。

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ステップ 1.3.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ で和が $b = 5$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.3.1.1

$5$ を $5 u$ で因数分解します。

$3 u^{2} + 5 (u) - 2 = 0$

ステップ 1.3.1.2

$5$ を $- 1$ プラス $6$ に書き換える

$3 u^{2} + (- 1 + 6) u - 2 = 0$

ステップ 1.3.1.3

分配則を当てはめます。

$3 u^{2} - 1 u + 6 u - 2 = 0$

ステップ 1.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(3 u^{2} - 1 u) + 6 u - 2 = 0$

ステップ 1.3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$u (3 u - 1) + 2 (3 u - 1) = 0$

ステップ 1.3.3

最大公約数 $3 u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(3 u - 1) (u + 2) = 0$

ステップ 1.4

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{4}}$ で置き換えます。

$(3 x^{\frac{1}{4}} - 1) (x^{\frac{1}{4}} + 2) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x^{\frac{1}{4}} - 1 = 0$

$x^{\frac{1}{4}} + 2 = 0$

ステップ 3

$3 x^{\frac{1}{4}} - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$3 x^{\frac{1}{4}} - 1$ が $0$ に等しいとします。

$3 x^{\frac{1}{4}} - 1 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $3 x^{\frac{1}{4}} - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$3 x^{\frac{1}{4}} = 1$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺を $4$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4} = 1^{4}$

ステップ 3.2.3

指数を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1.1

${(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1.1.1

積の法則を $3 x^{\frac{1}{4}}$ に当てはめます。

$3^{4} {(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = 1^{4}$

ステップ 3.2.3.1.1.2

$3$ を $4$ 乗します。

$81 {(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = 1^{4}$

ステップ 3.2.3.1.1.3

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.3.1.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$81 x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 1^{4}$

ステップ 3.2.3.1.1.3.2

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.3.1.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$81 x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 1^{4}$

ステップ 3.2.3.1.1.3.2.2

式を書き換えます。

$81 x^{1} = 1^{4}$

ステップ 3.2.3.1.1.4

簡約します。

$81 x = 1^{4}$

ステップ 3.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$81 x = 1$

ステップ 3.2.4

$81 x = 1$ の各項を $81$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$81 x = 1$ の各項を $81$ で割ります。

$\frac{81 x}{81} = \frac{1}{81}$

ステップ 3.2.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.4.2.1

$81$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{81 x}{81} = \frac{1}{81}$

ステップ 3.2.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{81}$

ステップ 4

$x^{\frac{1}{4}} + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x^{\frac{1}{4}} + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x^{\frac{1}{4}} + 2 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $x^{\frac{1}{4}} + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x^{\frac{1}{4}} = - 2$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺を $4$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(- 2)}^{4}$

ステップ 4.2.3

指数を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1.1

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1.1.1

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.2.3.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 2)}^{4}$

ステップ 4.2.3.1.1.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.3.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(- 2)}^{4}$

ステップ 4.2.3.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} = {(- 2)}^{4}$

ステップ 4.2.3.1.1.2

簡約します。

$x = {(- 2)}^{4}$

ステップ 4.2.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.2.1

$- 2$ を $4$ 乗します。

$x = 16$

ステップ 5

最終解は $(3 x^{\frac{1}{4}} - 1) (x^{\frac{1}{4}} + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{1}{81}, 16$

ステップ 6

$3 x^{\frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{1}{4}} - 2 = 0$ が真にならない解を除外します。

$x = \frac{1}{81}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{1}{81}$

10進法形式：

$x = 0.01234567 \dots$

微分積分学準備 例

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