微分積分学準備例

$2 + 13 \sin (x) = 14 \cos^{2} (x)$

ステップ 1

方程式の両辺から $14 \cos^{2} (x)$ を引きます。

$2 + 13 \sin (x) - 14 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 2

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式に基づいて $- 14 \cos^{2} (x)$ を $- 14 (1 - \sin^{2} (x))$ で置き換えます。

$2 + 13 \sin (x) - 14 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 3

各項を簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$2 + 13 \sin (x) - 14 \cdot 1 - 14 (- \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 3.2

$- 14$ に $1$ をかけます。

$2 + 13 \sin (x) - 14 - 14 (- \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 3.3

$- 1$ に $- 14$ をかけます。

$2 + 13 \sin (x) - 14 + 14 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 4

$2$ から $14$ を引きます。

$13 \sin (x) - 12 + 14 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 5

多項式を並べ替えます。

$14 \sin^{2} (x) + 13 \sin (x) - 12 = 0$

ステップ 6

$u$ を $\sin (x)$ に代入します。

$14 {(u)}^{2} + 13 (u) - 12 = 0$

ステップ 7

群による因数分解。

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ステップ 7.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 14 \cdot - 12 = - 168$ で和が $b = 13$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 7.1.1

$13$ を $13 u$ で因数分解します。

$14 u^{2} + 13 u - 12 = 0$

ステップ 7.1.2

$13$ を $- 8$ プラス $21$ に書き換える

$14 u^{2} + (- 8 + 21) u - 12 = 0$

ステップ 7.1.3

分配則を当てはめます。

$14 u^{2} - 8 u + 21 u - 12 = 0$

ステップ 7.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 7.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$14 u^{2} - 8 u + 21 u - 12 = 0$

ステップ 7.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$2 u (7 u - 4) + 3 (7 u - 4) = 0$

ステップ 7.3

最大公約数 $7 u - 4$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(7 u - 4) (2 u + 3) = 0$

ステップ 8

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$7 u - 4 = 0$

$2 u + 3 = 0$

ステップ 9

$7 u - 4$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 9.1

$7 u - 4$ が $0$ に等しいとします。

$7 u - 4 = 0$

ステップ 9.2

$u$ について $7 u - 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 9.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$7 u = 4$

ステップ 9.2.2

$7 u = 4$ の各項を $7$ で割り、簡約します。

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ステップ 9.2.2.1

$7 u = 4$ の各項を $7$ で割ります。

$\frac{7 u}{7} = \frac{4}{7}$

ステップ 9.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 9.2.2.2.1

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{7 u}{7} = \frac{4}{7}$

ステップ 9.2.2.2.1.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{4}{7}$

ステップ 10

$2 u + 3$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 10.1

$2 u + 3$ が $0$ に等しいとします。

$2 u + 3 = 0$

ステップ 10.2

$u$ について $2 u + 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 10.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$2 u = - 3$

ステップ 10.2.2

$2 u = - 3$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 10.2.2.1

$2 u = - 3$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}$

ステップ 10.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 10.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}$

ステップ 10.2.2.2.1.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{- 3}{2}$

ステップ 10.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 10.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$u = - \frac{3}{2}$

ステップ 11

最終解は $(7 u - 4) (2 u + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = \frac{4}{7}, - \frac{3}{2}$

ステップ 12

$\sin (x)$ を $u$ に代入します。

$\sin (x) = \frac{4}{7}, - \frac{3}{2}$

ステップ 13

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sin (x) = \frac{4}{7}$

$\sin (x) = - \frac{3}{2}$

ステップ 14

$\sin (x) = \frac{4}{7}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 14.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{4}{7})$

ステップ 14.2

右辺を簡約します。

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ステップ 14.2.1

$\arcsin (\frac{4}{7})$ の値を求めます。

$x = 0.60824557$

ステップ 14.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = (3.14159265) - 0.60824557$

ステップ 14.4

$x$ について解きます。

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ステップ 14.4.1

括弧を削除します。

$x = 3.14159265 - 0.60824557$

ステップ 14.4.2

括弧を削除します。

$x = (3.14159265) - 0.60824557$

ステップ 14.4.3

$3.14159265$ から $0.60824557$ を引きます。

$x = 2.53334707$

ステップ 14.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 14.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 14.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 14.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 14.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 14.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 0.60824557 + 2 π n, 2.53334707 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 15

$\sin (x) = - \frac{3}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 15.1

正弦の値域は $- 1 \leq y \leq 1$ です。 $- \frac{3}{2}$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 16

すべての解をまとめます。

$x = 0.60824557 + 2 π n, 2.53334707 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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