微分積分学準備例

$27 = 3^{5 x} \cdot 9^{x^{2}}$

ステップ 1

方程式を $3^{5 x} \cdot 9^{x^{2}} = 27$ として書き換えます。

$3^{5 x} \cdot 9^{x^{2}} = 27$

ステップ 2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$3^{5 x} \cdot {(3^{2})}^{x^{2}} = 27$

ステップ 3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3^{5 x} \cdot 3^{2 x^{2}} = 27$

ステップ 4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3^{5 x + 2 x^{2}} = 27$

ステップ 5

すべての方程式に等しい基数を持つ同等の式を作成します。

$3^{5 x + 2 x^{2}} = 3^{3}$

ステップ 6

底が同じなので、2つの式は指数も等しい場合に限り等しいです。

$5 x + 2 x^{2} = 3$

ステップ 7

$x$ について解きます。

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ステップ 7.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$5 x + 2 x^{2} - 3 = 0$

ステップ 7.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 7.2.1

$u = x$ とします。 $u$ を $x$ に代入します。

$5 u + 2 u^{2} - 3 = 0$

ステップ 7.2.2

群による因数分解。

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ステップ 7.2.2.1

項を並べ替えます。

$2 u^{2} + 5 u - 3 = 0$

ステップ 7.2.2.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ で和が $b = 5$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 7.2.2.2.1

$5$ を $5 u$ で因数分解します。

$2 u^{2} + 5 (u) - 3 = 0$

ステップ 7.2.2.2.2

$5$ を $- 1$ プラス $6$ に書き換える

$2 u^{2} + (- 1 + 6) u - 3 = 0$

ステップ 7.2.2.2.3

分配則を当てはめます。

$2 u^{2} - 1 u + 6 u - 3 = 0$

ステップ 7.2.2.3

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 7.2.2.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(2 u^{2} - 1 u) + 6 u - 3 = 0$

ステップ 7.2.2.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$u (2 u - 1) + 3 (2 u - 1) = 0$

ステップ 7.2.2.4

最大公約数 $2 u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 u - 1) (u + 3) = 0$

ステップ 7.2.3

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$(2 x - 1) (x + 3) = 0$

ステップ 7.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 7.4

$2 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.4.1

$2 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 1 = 0$

ステップ 7.4.2

$x$ について $2 x - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 7.4.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 x = 1$

ステップ 7.4.2.2

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.4.2.2.1

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 7.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.4.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 7.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 7.5

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.5.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 7.5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 7.6

最終解は $(2 x - 1) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{1}{2}, - 3$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \frac{1}{2}, - 3$

10進法形式：

$x = 0.5, - 3$

微分積分学準備 例

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