微分積分学準備例

$\log_{2} (8 x) - \log_{2} (x^{2} - 1) = \log_{2} (3)$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\log_{2} (\frac{8 x}{x^{2} - 1}) = \log_{2} (3)$

ステップ 1.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\log_{2} (\frac{8 x}{x^{2} - 1^{2}}) = \log_{2} (3)$

ステップ 1.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$\log_{2} (\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)}) = \log_{2} (3)$

ステップ 2

方程式を等しくするために、両辺の対数の引数が等しくなる必要があります。

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} = 3$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 3.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$(x + 1) (x - 1), 1$

ステップ 3.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$(x + 1) (x - 1)$

ステップ 3.2

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} = 3$ の各項に $(x + 1) (x - 1)$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} = 3$ の各項に $(x + 1) (x - 1)$ を掛けます。

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = 3 ((x + 1) (x - 1))$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$(x + 1) (x - 1)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = 3 ((x + 1) (x - 1))$

ステップ 3.2.2.1.2

式を書き換えます。

$8 x = 3 ((x + 1) (x - 1))$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x - 1)$ を展開します。

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ステップ 3.2.3.1.1

分配則を当てはめます。

$8 x = 3 (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

ステップ 3.2.3.1.2

分配則を当てはめます。

$8 x = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

ステップ 3.2.3.1.3

分配則を当てはめます。

$8 x = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

ステップ 3.2.3.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.2.3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.3.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$8 x = 3 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

ステップ 3.2.3.2.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$8 x = 3 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

ステップ 3.2.3.2.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$8 x = 3 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

ステップ 3.2.3.2.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$8 x = 3 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

ステップ 3.2.3.2.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$8 x = 3 (x^{2} - x + x - 1)$

ステップ 3.2.3.2.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$8 x = 3 (x^{2} + 0 - 1)$

ステップ 3.2.3.2.3

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$8 x = 3 (x^{2} - 1)$

ステップ 3.2.3.3

分配則を当てはめます。

$8 x = 3 x^{2} + 3 \cdot - 1$

ステップ 3.2.3.4

$3$ に $- 1$ をかけます。

$8 x = 3 x^{2} - 3$

ステップ 3.3

方程式を解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式の両辺から $3 x^{2}$ を引きます。

$8 x - 3 x^{2} = - 3$

ステップ 3.3.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$8 x - 3 x^{2} + 3 = 0$

ステップ 3.3.3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.3.3.1

$- 1$ を $8 x - 3 x^{2} + 3$ で因数分解します。

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ステップ 3.3.3.1.1

$8 x$ と $- 3 x^{2}$ を並べ替えます。

$- 3 x^{2} + 8 x + 3 = 0$

ステップ 3.3.3.1.2

$- 1$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$- (3 x^{2}) + 8 x + 3 = 0$

ステップ 3.3.3.1.3

$- 1$ を $8 x$ で因数分解します。

$- (3 x^{2}) - (- 8 x) + 3 = 0$

ステップ 3.3.3.1.4

$3$ を $- 1 (- 3)$ に書き換えます。

$- (3 x^{2}) - (- 8 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

ステップ 3.3.3.1.5

$- 1$ を $- (3 x^{2}) - (- 8 x)$ で因数分解します。

$- (3 x^{2} - 8 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

ステップ 3.3.3.1.6

$- 1$ を $- (3 x^{2} - 8 x) - 1 (- 3)$ で因数分解します。

$- (3 x^{2} - 8 x - 3) = 0$

ステップ 3.3.3.2

因数分解。

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ステップ 3.3.3.2.1

群による因数分解。

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ステップ 3.3.3.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ で和が $b = - 8$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.3.3.2.1.1.1

$- 8$ を $- 8 x$ で因数分解します。

$- (3 x^{2} - 8 x - 3) = 0$

ステップ 3.3.3.2.1.1.2

$- 8$ を $1$ プラス $- 9$ に書き換える

$- (3 x^{2} + (1 - 9) x - 3) = 0$

ステップ 3.3.3.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$- (3 x^{2} + 1 x - 9 x - 3) = 0$

ステップ 3.3.3.2.1.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$- (3 x^{2} + x - 9 x - 3) = 0$

ステップ 3.3.3.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.3.3.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$- ((3 x^{2} + x) - 9 x - 3) = 0$

ステップ 3.3.3.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$- (x (3 x + 1) - 3 (3 x + 1)) = 0$

ステップ 3.3.3.2.1.3

最大公約数 $3 x + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$- ((3 x + 1) (x - 3)) = 0$

ステップ 3.3.3.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (3 x + 1) (x - 3) = 0$

ステップ 3.3.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 3.3.5

$3 x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.3.5.1

$3 x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$3 x + 1 = 0$

ステップ 3.3.5.2

$x$ について $3 x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.3.5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$3 x = - 1$

ステップ 3.3.5.2.2

$3 x = - 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.5.2.2.1

$3 x = - 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

ステップ 3.3.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.5.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

ステップ 3.3.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{3}$

ステップ 3.3.5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.5.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{3}$

ステップ 3.3.6

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.3.6.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 3.3.6.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 3.3.7

最終解は $- (3 x + 1) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{1}{3}, 3$

ステップ 4

$\log_{2} (8 x) - \log_{2} (x^{2} - 1) = \log_{2} (3)$ が真にならない解を除外します。

$x = 3$

微分積分学準備 例

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